1、 2018 年浙江 省高中 数学竞 赛试卷 参考答 案 1. 已知 a 为正实数，且11()1xfxaa= +是奇函数，则 () fx 的值域为_。 解 由 () fx 为奇函数可知11 1 1,11xxaa aa = +解得 2 a = ，即11()22 1xfx = +，由此得 () fx 的值域为11( ,)22 。 2. 设数列 na 满足111, 5 1nnaa a+= = + （ 1, 2, n = ）， 则2018n1 na=_。 解 由111 1 515 1 5( )4 4 44nnn n n naa a a a+= + += + = ，所以 2019 20181 2 2018
2、 201811 2018 5 2018 5 8077(5 5 5 ) (5 1)4 4 16 4 16 16nna=+ + += = 。 3. 已知 , 3,4， cos( ) + =4,5 sin12,4 13=则 cos4+=_。 解 由 , 3,4， cos( ) + =4,5得35sin( ) ,cos( )5 4 13 += = ，所以 cos56cos( )cos( ) sin( )sin( )4 4 4 65 += + + + = 。 4. 在八个数字 2,4,6,7,8,11,12,13 中 任取两个组成分数。这些分数中有 个既约分数。 解 在 7,11,13 中任取一个整数与
3、在 2,4,6,8,12 中任取一个整数构成既约分数，共有11352 30 CC = 种；在 7,11,13 中任 取两个整数也构成既约分数，共有236 A = 中。合计有 36 种不同的既约分数。 5. 已知虚数 z 满足310 z += ，则2018 2018111zzz+=_ 。 解 3 221 0 ( 1)( 1) 0 1 0 z z zz zz += + += += ，所以 2018 20182018 3 672 2 22 2018 3 13451 1 () 1 111 1 () ()z z zz zz z z zz z+ += 。 6. 设 10 AB = 。 若平面上点 P 满足
4、， 对于任意 tR ， 有 3 AP t AB ， 则 PA PB 的最小值为_，此时 + PA PB = _。 解 由 3 AP t AB 可知点 P 到直线 AB 的距离为 3 。 设 AB 的中点为O 。由极化恒等式得 2 2 221 11( ) ( ) (2 ) 10 36 100 164 44PA PB PA PB PA PB PO = + = = 。 此时 + PA PB = 6 。 7. 在 ABC 中， 7 AB AC += ， 且 三角形的面积为 4，则 sin A 的最小值为_。 解 由4974AB AC AB AC += ，又 1 32 7sin A 4 sin A ,2
5、 49 2AB AC AB AC = = = 时取等号。 8. 设 ( ) | 1| | | | 2| fx x x x =+ , 则 ( ( ) 1 0 f fx+= 有_ 个不同的解。 解 因为3, 11, 1 0( ) | 1| | | | 2|3 1, 0 23, 2xxxxfx x x xxxxx =+ = 由 ( ( ) 1 0 f fx+= 得到( ) 2, fx = 或 () 0 fx = 。由 ( ) 2, fx = 得 一 个解 1 x = ； 由 () 0 fx = 得 两 个解13,3xx = = ，共 3 个解。 9. 设 , xy R 满足 6 4 +12 =0 x
6、 y xy ， 则 x 的取值范围为 _。 解 由226 4 +12=0 ( 2) ( 3) 1 x y xy xy y + = 。令222 cos , 3 sin (2 cos ) (3 sin ) xy y x = = =+ + 214 52 sin( )(sin )13 = += ，所以14 2 13 14 2 13 x + 。 10. 四面体 P ABC ， 6 PA BC = = ， 8 PB AC = = ， 10 PC AB = = ，则该四面体外接球的半径为_。 解 将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为 , abc ，则 2222 22222108 126a
7、bbc abcac +=+=+=+=，所以四面体外接球的半径为 3 。 二 、解答题 11. （本题满分20 分） 已知动直线 l 与圆O ：221 xy += 相切， 与椭 圆2219xy +=相交于不同的两点 , AB 。求原点到 AB 的中垂线的最大距离。 解 依题意 可设 : ( 0) l y kx m k =+ 因为直线 l 与圆O 相切，所以，O 到直线 l 的距离为 1 ，即 211mk=+ 5 分 这样的直线必与椭圆交于不同的两点11 2 2( , ), ( , ) Ax y Bx y ， 联立22,9 90y kx mxy= + + =，得22 2(1 9 ) 18 (9 9
8、) 0 k x kmx m + + + = ，得到12 21819kmxxk+= +。 所以 AB 的中点坐标为229( ,)19 19km mkk+，10 分 AB 的中垂线方程为2219()19 19m kmyxkk k = +，化简得28019kmx kyk+ =+ O 到直线中垂线的距离228191kmkdk+=+。15 分 将211mk=+代入228191kmkdk+=+，得2819kdk=+ 由均值不等式，219 6 kk +，故43d ，当且仅当13k = 时取等号。 所以，当13k = ,310| | = m 时， 原点到 AB 的中垂线的最大距离为43。20 分 12. （本
9、题满分20 分） 设 aR ， 且对任意实数 b 均有2 0,1max 1xx ax b+ ， 求 a 的取值范围。 解1 设2() f x x ax b =+ ，对于 1 (0) 1 bf ， 所以只要考虑 1 b 。5 分 （1 ）当 02a 时，即 0, a 此时函数 () fx 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 1 b = 所以 (1) 1 1 f ab =+ ， 解得 1 a 。10 分 （2 ） 当1022a 时， 即 10 a ， 此时函数 () fx 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对 0 b = 有 ( )21 1 1, ( ) 124aaf af=+ = 。 （3
10、）当1122a 时，即 21 a ，此时函数 () fx 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对 0 b = 有 ( )20 1, ( ) 124aaf bf= 。15 分 （4 ）当 12a 时，即 2 a ， 此时函数 () fx 的最值在抛物线的 左 右端点取得，对任意 1 b 有 ( ) 0 1, fb = 所以 (1) 1 1 f ab = + + ，解得 3 a 。 综上 1 a 或 3 a 。20 分 解 2 设2 0,1maxxm x ax b= + ，则有,1 2 1 1 m b m ab m b ab a + + 依题意，11 1,2aa+ 或3 a 。 13. （本题满分
11、20 分） 设实数1 2 2018, xx x 满足21 +2 ( 1,2, ,2016)n nnx xx n+= 和201811nnx=，证明：1009 10101 xx 。 证明 ：由条件+2, nnxx 同号。反证法，假设1009 10101 xx 。 （1 ）若1009 1010, xx 同为正数，由+2, nnxx 同号可知1 2 2018, xx x 同号。5 分 由2 1 2 1009 1010 10111 +21 1008 1009 1010 nnn nnnnxx x x xx xxxx x x x+ 1009 1010 1011 1008 1011 10081 xx xx x
12、x 10 分 同理1009 1009 1008 1011 1012 10121007 10121007 1008 1007 1010 1011 10101xx xx xxxxx xx xx x= 。 类似可证明：1006 1013 1005 1014 1 20181, 1, , 1 x x x x xx 。15 分 因此201811nnx=，矛盾。 （2）若1009 1010, xx 同为负数， 由+2, nnxx 同号可知1 2 2018, xx x 均为负数， 仍然有 2 121 +21 nnn nnnnxxx xxxx+ ，类似（1 ）可证得。20 分 14.（本题满分30 分） 将 2
13、n （ 2 n ）个不同整数分成两组1 2 12,; , ,nnaa a bb b 。证明 111(| | | |)i j j i jiin i jnjnab a a bb n +。 证明 令111(| | | |)n i j j i jiin i jnjnT ab a a bb = +， 下面用归纳法证明nTn 。 当 2 n = 时，不妨设1 21 2 2 2, a ab ba b 。 2 21 22 11 12 21 2 1T ba ba ba ba a a bb =+ ， 当11ab ；5 分 当11ab 22 2 112 T baab =+ 。10 分 假设对正整数 n 成立，对正整
14、数 1 n + ，不妨设 1 2 11 2 1 1 1,n nn naa abb ba b+ + 。再设11 kn kba b+ ，则有 1 1 111 1 1111 1nnn nn n i ni n i ni n n niii iT ba ab aa bb ba T+ += = = = + + + 15 分 下证1 111111 10nnn nn i ni n i niiii iba ab aa bb+= = = =+ 。 由（1）11( 1, 2, , )kn kba bk n+；25 分 （2 ）若11 nab+。30 分 15.（本题满分30 分） 如图所示将同心圆环均匀分成 n （
15、3 n ）格。在内环中固定数字1n 。问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？ 解答：设对应于内环 1,2,，n 的外环数字为12, ,nii i ，它是数字 1,2,，n 的一个排列。对 1, 2, , kn = ， 记外环数字ki 在按顺时针方向转动kj 格时， 和内环数字相同，即 mod , 1, 2, ,kki k j nk n = 。 10 分 根据题意，12,njj j 应是 0 1, 2, , 1 n ， 的排列。求和 ( )111mod (0 1 2 ( 1) mod ( 1) mod2nnkkkki k j n n n nn n= = = + + = 。 于是 n 必须是奇数。 20 分 对于奇数 n，我们取 , , ( 1, 2, , 1)nmi ni n m m n = = ，可以验证 modkkikj n 12 120, 2, 4, , 1,nn n nnjj j j n = = = = 1 13 122, 4, 6, , 1,nnj njnj n j= = = = 符合题目要求！ 30 分
