1、巧用极化恒等式秒杀高考向量题 冷世平整理 说明：由于前几天，大家经常提到极化恒等式，本人便收集整理 了一些相关资料，相对较系统，且加入了群里大家讨论的部分题 目，由于相当一部分内容非原创，所以只和大家分享一下自己整 理的好东西而已，故不作投稿使用。 高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中 数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门， 甚至课本上都不出现， 但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果， 实现对问题的快速 “秒杀” ， 极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。 1.极化恒等式 极
2、化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这 个极化恒等式降维至二维平面即得： 2 1 ()() 4 ab ab ab 2 ，有时也可将其写成 。 22 4()( ab ab ab ) 注： 2 1 ()() 4 ab ab ab 2 表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的 另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若 是实数，则恒等式 , ab 2 1 ()() 4 ab ab ab 2 也叫“广义平方差”公式； 极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 “和对角 线”与“差对角线”
3、平方差的 1 4 ，即 22 22 1 4 a b AD BC AM BM （如图） 在三角形中，也可以用三角形的中线来表示， 222 1 4 a b AM BM AM BC 2 ，它揭示了三角 形的中线与边长的关系。 此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的 巧妙结合。 2极化恒等式的应用 自向量引入高中数学以后，由于它独特的性质(代数与几何的桥梁)，在近几年全国各地的高考 中迅速成为创新题命制的出发点，向量试题有着越来越综合，越来越灵活的趋势，在浙江省数学高 考中尤为突出，也出现了一些非常精美的向量题。 例1在 ABC 中，M 是BC 的中点
4、， 3, 10 AM BC ，则 _ AB AC （ 年浙江省数学高考理科试题第 15题） 2012 【分析】该问题就是利用极化恒等式解决的极好范例，因为 2 1 92 5 1 6 2 AB AC AM BC 。 下面我们再来看 年浙江省数学高考选择题第 题: 2013 7 例2设 是边 0 , ABC P AB上一定点，满足 0 1 4 PB AB ，且对于边AB上任一点 ，恒有 P100 PB PC PB PC .9 0 A ABC ，则 .9 BB A C 0 . CAB AC . DAC BC ( 年浙江省数学高考选择题第 题) 2013 7 【分析】考生普遍反映该题无从入手，笔者认为
5、主要原因有 2个:该题呈现方式比较新颖;学生 解题工具使用不当，以致费时费力且不得要领。 【解析 1】如图， 取BC 的中点D，连接 ，在 内使用极化恒等式得 0 , PD PD PBC 22 PB PC PD BD ，在 内 使用极化恒等式得 ，由条件知恒有 0 PBC 22 BD 00 PC PD 0 PB 0 PD PD ，即 ，故 0 PD AB AC BC ， 故选D。 【解析 2】如图， 取线段BC 的中点M ，则 22 22 4() 4 () 4 PB PC PB PC PB PC PM BC ，要使 的 值最小，只需 PB PC PM 取得最小值，所以只有当MPA B 时， P
6、M 取得最小值，且点 与点 必须重 合， P 0 P M 是线段BC 的中点，只有 时才能成立，故选 AC BC D。 很多一线教师都认为这个题目在10个选择题中是最难的， 应该放在压轴的位置， 笔者却不这样认为， 其实这个题目只是在例1的基础上对极化恒等式的应用灵活化，步子迈得更大一些而己，这个题目的 姊妹题也出现在 年浙江省高中数学联赛中： 2013 例3如图，已知直线 与抛物线 交于点 为 的中点，C 为抛物线上一个动点，若 满足 AB 2 4 y x , ABM AB 0 C 00 A C B CA CB min C ，则下列一定成立的是（ ） 0 . ACM AB 0 . BCM l
7、 ，其中l为抛物线过点 的切线 0 C 00 . CCA CB 0 1 . 2 DCM AB （ 20 年浙江省高中数学联赛试题） 132【解析 1】由 00 min C A C B CA CB 得 00 CA CB C A C B 22 0 C M 2 y ，由极化恒等式知式等价于 ，即 ，即抛物线 22 CM AM 22 0 C M AM CM 4x 上所有点到M 的距离最近的点即 ，故以 0 C M 为圆心， 0 MC 为半径的圆与抛物线内切，故选B。 【解析 2】 22 44 CB CA CM AB ，因为 AB 给定，显然要使CB CA 最小，只需 CM 最小，即 ，其中l是抛物线过
8、点 的切线。 0 CM l 0 C 需要说明的是，命题组并没有说明l是一条什么样的直线，其实直线 是:当以定点 l M 为圆心的圆与 抛物线 相切时的公切线。 2 4 y x 例4在正 中， ABC D是BC 上的点， 3, 1 AB BD ，则 _ AB AD ( 年上海市数学高考试题第11题) 2011 【分析】这是极化恒等式的直接变式范例。 【解析】设BD的中点为E ，则 22 22 2 22 3 44 AE 4 4 ( 3 ) 1 1 3 2 AB AD BD AO OE BD 0 ，则 15 2 AB AD 。 例5已知 是平面内 个互相垂直的单位向量，若向量 , ab 2 c 满足
9、() () acbc0 ，则 c 的最大值是 ( ) .1 A .2 B .2 C 2 . 2 D ( 年浙江省数学高考理科试题第 题) 2008 9 【解析】本题从表面上看似乎和“极化恒等式”并没有关系，事实上，根据“极化恒等式”有 ，从而 22 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) acbc acbc acbc 22 () ( 22 ab ab c ) 。 如图， 设OA ，且 为线段 的中点，显然 OB , OA a OB b OC c D AB 2 1 ,( 222 ) 2 ab abab OD DC c ，上式表明，DC 是有固定起点，固定模长的动向量，即 点C 的轨迹是
10、以D为起点， 以 2 2 为半径的圆， 因此，c 的最大值就是该轨迹圆的直线 2 ， 故选C 。 事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式” ，或在无意中使用 “极化恒等式” 。 例6在 中， 是边 ABC 2, 3, AB AC D BC 的中点，则 _ AD BC ( 2 年天津市数学高考文科试题第15题) 007 【解析】根据“极化恒等式”有 22 15 ()() 22 AB AC AD BC AC AB AC AB 2 。 本题的解决涉及到三角形的边及中线的关系，这可以看作是 年浙江省数学高考试题第 题 的最初原型。 2013 7 例7设正方形 的边长为
11、，动点 在以 为直径的圆弧 ABCD 4 P AB APB上(如图所示)，则 PC PD 的取值范围是 3 【解析】取CD中点E ，联结 ，在 PE PDC 内使用极化恒等式得 222 2 1 4 4 PC PD PE ED PE CD 2 PE ， 由图可知， 2, 2 5 PE ， 故 。 0,16 PC PD 例8在 中，点 ABC , E F 分别是线段 , ABAC的中点，点 在直线 P EF 上，若 的面积为 2， 则 的最小值是 ABC 2 PC PB BC ( 年江苏省南京市数学高考模拟试题) 2012【分析】如图，取BC 的中点D，在 内使用极化恒等式得 PBC 222 1
12、4 PC PB PD BD PD 2 BC ，从而 22 2 3 4 PC PB BC PD BC ，因为 的面积 为 ，所以 的高 ABC 2 ABC 4 h BC ，又EF 为 ABC 的中位线，故 PBC 的高为 2 BC ，从而 2 PD BC ， 因此 2 2 PB BC 2 43 2 4 PC BC BC 3 ，当且仅当 4 4 , BC BC 3 PD 时等号成立。 例9如图,在半径为1的扇形 中, AOB 60 , AOB C 为弧上的动点, 与OC交于点 ,则 的最小值为 AB P OP BP 【解析】如图， 4 取OB的中点D，作DEA B 于点E ，根据极化恒等式 2 1
13、 ()() 4 ab ab ab 2 可知， 22 222 11 () ()( 2 ) 44 1 4 P PO PO PB PO PB PD BO PD OP B PB ，易知 33 , 42 PD DE AD ，则 211 1 , 41 6 2 OP BP PD OP BP ，故 的最小值为 1 16 。 其实本题只需要等边三角形 的条件，外面的圆弧完全没用，本题还可以求 的取值范围。 AOB OP BP 例10如图放置的边长为1的正方形 顶点分别在 ABCD x轴，y轴正半轴（含原点）滑动，则OB 的最大值为 OC 【解析】取BC 中点为点E ，连接 ，如图所示： , OB OC由极化恒等
14、式可知， 222 2 1 44 1 2 OB OC OB OC OB OC OE 4 ( 1 ) 1 8 ，因而有 。 2 OB OC 3极化恒等式带来的反思 5极化恒等式源于教材又高于教材，在 ABC 中， 11 () ,( 22 AD AB AC BD AC AB ) 是课本上出 现的 个重要的向量三角关系，而极化恒等式无非就是这 个公式的逆用； 2 2 具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀向量”成为另一种可能； 向量是连接代数与几何的桥梁，由于向量的坐标运算引入，向量与代数的互换运算可以说是深入 人心，而与几何的运算联系略显单薄，而极化恒等式恰恰弥补了这个缺憾，
15、可以说极化恒等式应该 是把向量的数量积问题用形象的几何图形展示得淋漓尽致； 实际上， “极化恒等式”在空间中同样可以发挥作用，下面举 个例子。 2 例1 1正方体 1111 ABCD ABCD 的棱长为 2,MN 是它内切球的一条弦(把球面上任意 个点之间的线 段称为球的弦)， 为正方体表面上的动点，当弦 2 P MN 最长时，PM PN 的最大值为_ 6【解析】设球心为 ，球半径为 O R，则 1 R ，根据极化恒等式，得 2 2 44( 2 ) PM PN PO R 2 44 PO ，因 为 为正方体表面上的动点，所以 P PO 的最大值为正方体对角线长的一半，即 3， 于是 的最大值为
16、。 PM PN 2 例12点 是棱长为1的正方体 P 1111 ABCD ABCD 的底面 1111 ABCD上一点，则PA PC 的取值范围是 _ ( 年北京市朝阳区高三数学二模试题) 2013 【解析】设AC的中点为M ，根据“极化恒等式”得 222 44 4 PA PC PM AC PM2 ，因为 3 2 1 PM ，所以 1 1 2 PA PC 。 用极化恒等式“秒杀”有关向量试题，不论是平面还是空间，还有更多的案例，限于篇幅，不 再举例。最后，笔者要说的是，我们研究用极化恒等式“秒杀”一类高考向量试题，并不是追求高 难度的解题技巧，而是着意解题工具的选择，着意于数学问题的理解，揭示问题的本质，看出题目 的结果，以达到快速解答的目的。 参考文献： 1 王红权、李学军、朱成万.巧用极化恒等式,妙解一类向量题. 中学教研(数学),2013 2 单长松.平面向量中不得不提的一个恒等式.中学教研(数学),2014
