1、第三节第三节定积分的积分换元法与分部积分法定积分的积分换元法与分部积分法- 1 -第五章第五章定积分定积分第三节 定积分的换元积分法与分部积分法一 定积分的换元积分法二 定积分的分部积分法第三节第三节定积分的积分换元法与分部积分法定积分的积分换元法与分部积分法- 2 -第五章第五章定积分定积分定理 1 假设 （1） )(xf 在 , ba 上连续； （2）函数 )(tx = 在 , (或 , )上是单调的且有连续导数； （3）当 t在区间 , (或 , )上变化时， )(tx =的值在 , ba 上变化，且 a=)( 、 b=)( ， 则有dtttfdxxfba一 定积分的换元积分法= )()
2、()(第三节第三节定积分的积分换元法与分部积分法定积分的积分换元法与分部积分法- 3 -第五章第五章定积分定积分证 设 )(xF 是 )(xf 的一个原函数， ),()( tFt =令dtdxdxdFt =)( )()( txf = ),()( ttf =),()()()( =dtttf所以 )(t 是 )()( ttf 的一个原函数. ),()()( aFbFdxxfba=则)()( FF = )()( aFbF =所以dtttfdxxfba= )()()(第三节第三节定积分的积分换元法与分部积分法定积分的积分换元法与分部积分法- 4 -第五章第五章定积分定积分说明(1) 在计算定积分bad
3、xxf )(时 , 如果令),(tx =则=()fx()tdtbadx ()ft(2) 用 )(tx = 把变量 x换成新变量 t时，积分限 也相应的改变. (3) 求出 )()( ttf 的一个原函数 )(t 后，不必象计算不定积分那样再要把 )(t 变换成原变量 x的函数，而只要把新变量 t的上、下限分别代入 )(t 然后相减就行了. 第三节第三节定积分的积分换元法与分部积分法定积分的积分换元法与分部积分法- 5 -第五章第五章定积分定积分例 1 求101.11dxx+ +解令,12tx =+ ,12= tx,2tdtdx =,10 = tx,21 = tx原式+=21211tdtt+=2
4、11112 dttt+=21211122 dttdt2121)1ln(22 tt +=)2ln)21(ln(2)12(2 +=22 2 2ln(1 2) 2ln2= +第三节第三节定积分的积分换元法与分部积分法定积分的积分换元法与分部积分法- 6 -第五章第五章定积分定积分例 2 求1022.1 dxxx解令,cos,sin tdtdxtx = ,21,00= txtx原式=2022cossintdtt=20)4cos1(81dtt=20204cos8181tdtdt20204sin32181tt =16=第三节第三节定积分的积分换元法与分部积分法定积分的积分换元法与分部积分法- 7 -第五章
5、第五章定积分定积分例 3 求.1110+dxex解令,12tex=+),1ln(2= tx ,122dtttdx=,20 = tx,11 etx +=原式+=edtttt122)1(2+=edtt122)1(2ett+=1211ln1)12ln(2)11ln(2 += e第三节第三节定积分的积分换元法与分部积分法定积分的积分换元法与分部积分法- 8 -第五章第五章定积分定积分例4 计算.sincos205xdxx解I 令,cos xt =2=x,0= t0=x,1= t205sincos xdxx=015dtt0616t= .61=,sin xdxdt =解 II原式=205coscosxxd
6、61cos61206=x第三节第三节定积分的积分换元法与分部积分法定积分的积分换元法与分部积分法- 9 -第五章第五章定积分定积分例 5 求.11023+ dxxx解 I 令,tantx = ,sec2tdx = ,00 = tx,41= tx原式 tdtt3403sectan=4022secsec)1(secttdt4035)sec31sec51(tt =42 22 1 15353= +)21(152+=第三节第三节定积分的积分换元法与分部积分法定积分的积分换元法与分部积分法- 10 -第五章第五章定积分定积分解 II+=10221)11( xdxxx+=102212102232)1()1(21)1()1(21xdxxdx1023210252)1(31)1(51xx +=3123251254+=)21(152+=dxxx+10231
