1、第五节第五节反常积分收敛性判别法反常积分收敛性判别法- 1 -第五章第五章定积分定积分一 无穷积分的审敛法不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法.证因为,0)( xf 所以当axx 12时,=210)()()(12xxdxxfxFxF所以 )(xF在 ), +a 上是不减的,又由)(xF是有界的,由单调有界原理知)(lim xFx +存在,即无穷积分收敛.定理 1设函数 )(xf 在区间 ), +a 上连续， 并且,0)( xf 若函数=xadttfxF )()( 在区间 ), +a 上有界， 则无穷积分+adxxf )(收敛。第五节第五节反常积分收敛性判别法反常积分收敛性判别法-
2、 2 -第五章第五章定积分定积分由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理定理 2（比较审敛法）设函数 )(),( xgxf 在区间), +a 连续， 且 ),()()(0 +时发散 当时收敛 ；当由于无穷积分11)0(Ppaxdxap所以有第五节第五节反常积分收敛性判别法反常积分收敛性判别法- 4 -第五章第五章定积分定积分3( ) ( ) , )(0) ()0. 01()( ),()0()()()paafx aafx MMpfxax fxdxNNfxaxxfxdx+=p根据比较审敛法， .113 4收敛广义积分+xdx第五节第五节反常积分收敛性判别法反常积分收敛性判别法-
3、5 -第五章第五章定积分定积分4( ) ( ) , )(0) ()0. 1lim () ()lim () 0( lim () ), ()paxaxxfx aafx pxfx fxdxxfx d xfx fxdx+ += =+极限审敛法2 设函数 在区间上连续，且 如果存在常数 ，使得 存在，则 收敛； 如果则定理或发散例 .112的收敛性判别广义积分+ xxdx解,111lim22=+xxxx所以，此广义积分收敛第五节第五节反常积分收敛性判别法反常积分收敛性判别法- 6 -第五章第五章定积分定积分例.1122/3的收敛性判别广义积分 dxxx+解2222/31lim1limxxxxxxxx+=
4、+,+=根据极限审敛法 2，所给广义积分发散例.arctan1的收敛性判别广义积分 dxxx+解xxxxxxarctanlimarctanlim+= ,2=根据极限审敛法，所给广义积分发散第五节第五节反常积分收敛性判别法反常积分收敛性判别法- 7 -第五章第五章定积分定积分证).)()(21)( xfxfx +=令,)()(0)( xfxx ，且 ,)( 收敛dxxfa+.)( 也收敛dxxa+ ,)()(2)( xfxxf = 但,)()(2)(=bababadxxfdxxdxxf .)()(2)(+=aaadxxfdxxdxxf 即收敛.5(),)() ()aafx afxdx fxdx+
5、 +设函数 在区间 上连续， 如 果定 收敛；则理也收敛第五节第五节反常积分收敛性判别法反常积分收敛性判别法- 8 -第五章第五章定积分定积分必定收敛 绝对收敛的广义积分+adxxf )(例5.)0,(sin0的收敛性是常数判别广义积分 +abadxbxeax解.,sin0收敛而+ dxeebxeaxaxax.sin0收敛+ dxbxeax所以所给广义积分收敛.1(),)|()| ().aafx af xdx f xdx+ +设函数 在区间 连续， 如果积分收敛，则称无穷绝积定分为对收敛义第五节第五节反常积分收敛性判别法反常积分收敛性判别法- 9 -第五章第五章定积分定积分二 瑕积分的审敛法定理 6设函数 )(xf 在区间 ,( ba 上连续，且,0)( xf ax =为函数)(xf的瑕点，若函数=bxxfxF )()(在区间,( ba上有界，则瑕积分badxxf )(一定收敛。)(),(定理 7设函数xgxf在区间 ,( ba上连续，且,0)(,0)( xgxf ax =为函数)(),( xgxf的瑕点，如果存在常数 ),( bcac 8 比较审敛法 设函数 在区间上连续，且 如果存在常数及，使 得则瑕积分 收敛；若存在常数 及 ，使得 则瑕积分定发散理
