立体几何全国卷的考查分析1.pdf

1、立 体 几 何 全 国 卷 的 考 查 分 析 1从 分 值 来 看 ， 除 了 2018 全 国 1 卷 文 科 考 查 了 3 个 小 题 一 个 大 题 共 27 分 ， 其 他 均 为 2个 小 题 一 个 大 题 ， 共 22 分 。 在 全 国 卷 高 考 数 学 分 析 及 应 对 （ 仅 淘 宝 上 的 博 约 书 斋 这 一 家店 铺 有 正 版 卖 ） 一 书 中 分 析 了 2007 年 到 2017 年 的 情 况 ， 仅 2014 年 考 查 了 一 小 一 大 共 17分 ， 2008 年 考 查 了 三 小 一 大 共 27 分 ， 其 余 全 部 都 是 考 查

2、 22 分 。 在 整 个 高 中 占 据 了 重 要 的地 位 ， 且 不 少 年 份 ， 具 有 一 定 难 度 ， 特 别 是 对 于 文 科 生 ， 没 有 向 量 法 ， 对 学 生 思 维 和 空 间 想象 能 力 都 提 出 了 较 高 要 求 ， 甚 至 高 于 理 科 ， 2017 全 国 1 卷 文 第 19 题 在 广 东 的 平 均 得 分 仅 01分 左 右 ， 2010 全 国 新 课 标 立 体 几 何 19 题 全 国 平 均 得 分 不 到 2 分 ， 对 立 体 几 何 的 不 重 视 ， 导致 高 考 的 重 大 失 利 。 基 于 此 ， 专 门 出 版

3、 了 立 体 几 何 的 微 观 深 入 和 宏 观 把 握 分 了 42 个 专题 ， 以 求 对 立 体 几 何 的 全 突 破 。例 .（ 2018 全 国 3 卷 理 第 19 题 ） 如 图 ， 边 长 为 2 的 正 方 形 ABCD所 在 的 平 面 与 半 圆 弧 CD所在 平 面 垂 直 ， M 是 CD上 异 于 C ， D的 点 .（ 1） 证 明 ： 平 面 AMD平 面 BMC ；（ 2） 当 三 棱 锥 M ABC 体 积 最 大 时 ， 求 面 MAB与 面 MCD 所 成 二 面 角 的 正 弦 值 .【 点 评 】 ： 从 阅 卷 来 看 ， 如 果 抓 住

4、了 BCDMMCDM , 两 个 采 分 点 ， 则 第 一 问 可 得 6分 。 第 二 问 则 是 无 公 共 棱 的 两 个 面 所 成 的 二 面 角 。 立 体 几 何 的 微 观 深 入 和 宏 观 把 握 在 2.13 节 强 调 从 几 何 角 度 认 知 二 面 角 ， 这 是 对 二 面 角最 基 本 的 要 求 ； 2.14 求 二 面 角 要 注 意 两 个 面 的 特 殊 性 ， 顺 着 这 个 思 路 可 以 瞬 间 突 破 2017 全国 3 卷 第 19 题 等 很 多 的 高 考 题 目 ； 2.15 介 绍 了 三 垂 线 定 理 求 二 面 角 ， 2.1

5、6 节 介 绍 了 其 它 六种 求 二 面 角 的 方 法 。 恰 好 和 此 题 一 样 。 如 下 ：1. 如 图 ， 正 三 棱 柱 111 CBAABC 的 各 棱 长 都 是 1， M 是 棱 1CC 的 中 点 ， 求 截 面 BMA1 与底 面 ABC 所 成 锐 角 二 面 角 的 大 小 。一 、 射 影 面 积 法若 DC 平 面 ABC ， 如 图 过 D 作 ABDE ， 连 接 CE ， 则 DEC 为 所 求 二 面 角 ，DABCABSSABED ABECEDECDEC 2121cos ， 把 CABS 叫 做 射 影 面 积 ， 从 而 二 面 角 的 余 弦

6、 值为 射 影 面 积 比 上 原 面 积 。解 析 ： 注 意 到 251 MBMA ， 则 MBA1 为 等 腰 三 角 形 ， 作 高 可 求 得 461 MBAS ，43ABCS ， 所 以 22cos1 MBAABCSS ， 即 二 面 角 为 45二 、 平 移 法我 们 知 道 ， 两 个 平 行 平 面 与 第 三 个 平 面 相 交 ， 所 成 的 两 个 同 向 二 面 角 相 等 。 根 据 这 个 道理 ， 可 将 二 面 角 的 一 个 面 或 两 个 面 平 移 到 适 当 的 位 置 ， 使 其 相 交 ， 构 成 一 个 易 求 解 的 二 面 角 。法 二 ：

7、 取 1AA 的 中 点 D， AB 的 中 点 E， 易 证 平 面 DEC/平 面 BMA1 ， 问 题 转 化 为 平 面 DEC与 平 面 ABC 所 成 的 锐 二 面 角 ， 即 二 面 角 AECD ， 注 意 到 CE 平 面 ADE ， 则 AED为 所 求 的 二 面 角 。三 . 补 形 法将 二 面 角 的 两 个 面 延 展 ， 确 定 出 两 个 面 的 交 线 ， 从 而 构 成 一 个 完 整 的 二 面 角 。法 三 ： 延 长 MA1 与 AC 相 交 于 点 P， 连 结 BP， 则 所 求 的 二 面 角 是 ABPA 1容 易 证 明 BAA1 为 所

8、 求 二 面 角 的 平 面 角 。法 四 、 向 量 法 （ 略 ）五 、 根 据 体 积 或 等 体 积 法 求 高 ， 即 求 出 了 点 到 面 的 距 离2.（ 2006全 国 1） 已 知 正 四 棱 锥 的 体 积 为 12， 底 面 对 角 线 的 长 为 2 6 ， 则 侧 面 与 底 面 所 成的 二 面 角 等 于 _解 析 ： 【 答 案 】 60 ； 正 四 棱 锥 的 体 积 为 12,底 面 对 角 线 的 长 为 62 ， 底 面 边 长 为 32 ,底 面 积 为 12,设 正 四 棱 锥 的 高 为 h， 由 121231 h 得 3h ，则 侧 面 与 底 面 所 成 的 二 面 角 的 正 切 3tan ,所 以 二 面 角 等 于 60练 习 ： 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 是 直 角 梯 形 ， 垂 直 于 和 ， 侧 棱底 面 ， 且 ， 。（ 1） 求 四 棱 锥 的 体 积 ；（ 2） 求 面 与 面 所 成 二 面 角 的 余 弦 值 。解 析 ：（ 1） 41（ 略 ） ；（ 2） 容 易 证 明 AD 面 SAB， BC 面 SAB， 所 以 66cos SDCSABSS六 、 三 面 角 公 式 （ 略 ）