1、第三节第三节分部积分法分部积分法- 1 -第四章第四章不定积分不定积分问题= ?dxxex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数 )(xuu = 和 )(xvv = 具有连续导数, () ,vuvuuv+=() ,vuuvvu=分部积分公式,dxvuuvdxvu=.duvuvudv=第三节 分部积分法第三节第三节分部积分法分部积分法- 2 -第四章第四章不定积分不定积分例1 求积分.cosxdxx令,cos解（一）xu= dvdxxdx =221xdxxcos+= xdxxxxsin2cos222显然， 选择不当 ，积分更难进行.vu,令,解（二） xu= dvxdxdx = sincos
2、xdxxcos= xxd sinxxsin=.cossin Cxxx += xdxsin第三节第三节分部积分法分部积分法- 3 -第四章第四章不定积分不定积分例2 求积分.2dxexx解,2xu=,dvdedxexx=dxexx2xex=2=xxxdeex 22（再次使用分部积分法）,xu= dvdxex=总结=xdex2若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,u就考虑设幂函数为一次 (假定幂指数是正整数 ).使其降幂2 dxxexCexeexxxx+=)(2222= dxexeexxxx第三节第三节分部积分法分部积分法- 4 -第四章第四章不定积分不定积分例 3 求积分.
3、sincos2dxxxx解原 式= xdxx sinsin12 =xxdsin1xxsin1(=+= xdxxx csccscCxxxx += |cotcsc|lncsc)sin1 dxx第三节第三节分部积分法分部积分法- 5 -第四章第四章不定积分不定积分例4 求积分.arctanxdxx,arctan解令 xu= dvdxxdx21212=xdxxarctanxx arctan212=+= dxxxxx222121arctan2+= dxxxx)111(21arctan22221arctan22= xx=2arctan21xdx)(arctan2xdx.)arctan( Cxx +第三节第
4、三节分部积分法分部积分法- 6 -第四章第四章不定积分不定积分例5 求积分.ln3xdxx,ln解xu=,414143dvdxdxx =xdxx ln3xx ln414=.161ln4144Cxxx +=总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.u=4ln41xdx dxx341第三节第三节分部积分法分部积分法- 7 -第四章第四章不定积分不定积分例 6 求积分.)2()1ln(2dxxx解原式=xdx21)1ln()2()1ln(xx=+= dxxxxx)2)(1(1)2()1ln(+= dxxdxxxx21112)1ln()1ln(2)1l
5、n(xxx= )1ln(21xdxCx + )2ln(第三节第三节分部积分法分部积分法- 8 -第四章第四章不定积分不定积分例 7 求积分 .coscosln2dxxx解原 式= xxd tancoslnxx coslntan=+= xdxxx2tancoslntan+= dxxdxxx2seccoslntanCxxxx += tancoslntan xxd coslntan第三节第三节分部积分法分部积分法- 9 -第四章第四章不定积分不定积分例8 求积分.2sinxdxex解xdxex2sin=xxde2sinxex2sin=+= xdxexexx2cos22sin=xxxdexe 2cos22sinxexexx2cos(22sin= xdxexxexx2sin4)2cos22sin( xdxexsin.)2cos22(sin5Cxxex+= )2(sin xdex )2cos xdex第三节第三节分部积分法分部积分法- 10 -第四章第四章不定积分不定积分例 9 求积分.sec3xdx解xdx3sec= xxd tansecxxtansec= xdxxxx sectantansec2+= xdxxdxxx secsectansec3)sectan(sec21sec3+= xdxxxxdxCxxxx += |tansec|ln21tansec21 xxd sectan
