1、2.6 频域采样,时域和频域的对偶原理:,对时间序列x(n)的连续频谱函数在频域等间隔采样，则采样得到的离散频谱对应的时域序列必然是原时间序列x(n)的周期延拓序列。,时域周期延拓,时域采样,频域周期延拓,频域采样,仅对时域有限长序列，当满足频域采用定理时，才能由频域离散采样恢复原来的连续频谱函数（或原时间序列）。,一、频域采样与频域采样定理,设任意序列x(n)的Z变换为,而且X(z)的收敛域包含单位圆。以2/N为采样间隔，在单位圆上对X(z)进行等间隔采样得到,实质上， 是对x(n)的频谱函数 的等间隔采样,因为 以2为周期，所以 是以N为周期的频域序列。,若原序列x(n)长度为M，对 在频
2、率区间0，2上等间隔采样N点，得到 ，则仅当采样点数NM时，才能由频域采样 恢复 ，否则将产生时域混叠失真，不能由 恢复原序列x(n)。,频域采样定理,频率抽样理论（频域抽样不失真条件）,（1）问题引入,由 Z 变 换 与 DFT 的 关 系, 知 道：,x(n) 的 离 散 傅 里 叶 变 换 X(k) 序 列 值 和 x(n) 的 Z 变 换 在 单 位 圆 N 个 等 分 点 上 的 抽 样 值 相 等, 这 就 是 说 实 现 了 频 域 的 抽 样，便 于 计 算 机 计 算而提出的。,是否任何一序列(或说任何一个频率特性) 都能用频域抽样的办法去逼近呢? 其 限 制 条 件 是 什
3、 么?,（2）分析,将x(n)的频域函数 ，按每周期 N点抽样，得到一周期序列 ,再反变换回时域,得到变换结果 ,是一周期延拓的序列，且与原序列x(n) 有如下关系,即 频 域 按 每 周 期 N 点 抽 样, 时 域 便 按 N 点 周 期 延 拓.,此结果符合频域抽样,时域周期延拓的说法.,（3）结论,长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件： 频域抽样点数N要大于或等于序列长度M, 即满足NM.此时可得到,表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示。,（4）抽样后序列能否无失真恢复原时域信号,（5）注意点,DFT 变 换 对 的 一 一
4、 对 应 关 系 也 是 由 此 而 得 到 保 证 的.实 际 上 , 在 我 们 从 连 续 傅 里 叶 变 换 引 出 DFT 时, 也 只 有 按 此 条 件 对 频 域 进 行 抽 样, 才 能 在 最 后 正 确 导 出 DFT 变 换 对 定 义式.,（6）例子-1,频域抽样：一个矩形序列，频域抽样是指对时域已是离散，频域仍是连续信号的情况进行抽样处理，使其频域也离散化。,（6）例子-2,解：频域抽样，按N=5点，频域抽样，时域延拓相加,时域延拓的周期个数等于频域的抽样点数N=5，由于N=M，所以时域延拓恰好无混叠现象。,（6）例子-3,按N=4时进行抽样，由于N=4，而序列长度
5、为M=5，NM,时域延拓后产生混叠现象。（原信号为红色，延拓取主值区间后的恢复信号为兰色。）,二、频域内插公式,从 频 域 抽 样 不 失 真 条 件 可 以 知 道：,1、N 个 频 域 抽 样 X(k) 能 不 失 真 的 还 原 出 长 度 为 N 的 有 限 长 序 列 x(n)。,2、那 么 用 N 个 X(k) 也 一 定 能 完 整 地 表 示 出 X(z) 以 及 频 率 响 应 即 单 位 圆 上 的 X(z).,3、还原过 程 ：先 把 N 个 X(k) 作 IDFT 得 到 x(n), 再 把 x(n) 作 Z 变 换 便 得 到 X(z)。,（1）内插公式,（2）内插函数,令：,为内插函数，则有：,（3）频域响应的内插公式,(4)频域响应的内插函数,(5)说明,从 公 式 中看 出: 在 每 个 抽 样 点 上X(ejw) 就 精 确 地 等 于 X(k) (因 为 其 他 的 内 插 函 数 在 这 一 点 上 的 值 为 零, 无 影 响), 即各 抽 样 点 之 间 的X(ejw) 值, 则 由 各 抽 样 点 的 加 权 内 插 函 数 在 所 求 点 上 的 值 的 叠 加 而 得到. 频 率 响 应 的 内 插 函 数 具 有 线 性 相 位.,
