1、北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类） 2015.11（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合 ，B ，则 AB=2xA(1)30xA B C D 或1x3x2x12. 设平面向量 ， , 且 , 则实数 的值是(,)a(4)xbab1A B C D21353.下列函数在 上既是偶函数，又在 上单调递增的是 (,0),0(A
2、 B C D2yx1yx2logyx2xy4已知 ，那么 等于 1tan3tan()4A B C D 222125. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象si()yxsinyxA向左平移 个单位 B向右平移 个单位66C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 336. 下列命题正确的是 A. “ ”是“ ”的必要不充分条件1x022xB. 若给定命题 p： ，使得 ，则 ： 均有R210xp,xR012xC. 若 为假命题，则 均为假命题qq,D. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 则032x ,327.在 中，已知 ， ， 分别是 边上的三等分点，则 的值是ABC4AC3B,MNBCANMA
3、 B C D 521688. 已知函数 若存在实数 b，使函数 有两个零点，则实数,().xaf,0 ()gxfba的取值范围是 A B C D (0,2)(2,)(2,4)(4,)第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.若集合 = ，则1,0a,bc_,_ab10.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值是 nnS361248S9a11.给出四个命题：平行于同一平面的两个不重合的平面平行；平行于同一直线的两个不重合的平面平行；垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其
4、中真命题的序号是_12已知函数 ( )的最小正周期为 ，则 ，在 内满足 ()2sinfx0(0,)0)(xf的 0平13. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 .()sicofxax(,)64a14.如图，在 中， ， ， 是 的中点，若向量ABC90BACDB（ ） ，且点 在 的内部（不含边界） ，则 的取值范围是 14MmRMAMB DCBA三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分 13 分）已知函数 .2()23sincosxxfx（）求 的最小正周期； （）求 的单调递减区间.)(xf16. （本小题满
5、分 13 分）设等差数列 的前 项和为 ， ，公差 已知 成等比数列.nanSN30,15,dS134,a（）求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 .2nbanbnT17. （本小题满分 14 分）如图, 在三棱柱 中， 底面 ,1ABC1CAB,点 是 的中点 CAD（）求证： ；1（）求证： 平面 .()设 , ,在线段 上是否存在 12BACB1A点 ，使得 ?若存在 ,确定点 的位置; M1M若不存在，说明理由.18. （本小题满分 13 分）在 中，角 所对的边分别为 已知 ABC, cba, 21osB（）若 ，求 的面积；32ba,ABC（）求 的取值范围sini19
6、. （本小题满分 13 分）已知函数2()l(1)xfxa， aR（）若函数 f在区间 ,3)上单调递减，求 的取值范围；（）当 1a时，证明 .1()2fx20. （本小题满分 14 分）已知函数 (其中 ， ),函数 的导函数为 ，且()e)xfababR()fx()fx (1)0f()若 ，求曲线 在点 处的切线方程； b(yf0,f()若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值()fx1,北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期中统一考试数学答案（文史类） 2015.11一、选择题：（满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D C A B B C
7、C二、填空题：（满分 30 分）题号 9 10 11 12 13 14答案 1,5 , 21,)6,2（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（满分 80 分）15. （本小题满分 13 分）（I）由已知可得：()3sinco1fxx.2()6所以 的最小正周期为 . .7 分)(xf2（II）由 ， , 2kkZ得 , .233x因此函数 的单调递减区间为 , .)(f 2,3kkZ.13 分16. （本小题满分 13 分）解：（I）依题意，12135,()().ada解得 13,.d因此 . .6 分1()2(1),21n nadna即()依题意， . 1nb12nn
8、T 231()()(2)n= 31.n4(1)2.13 分.n17.（本小题满分 14 分）（I）在三棱柱 中，因为 底面 ， 底面 ，1ABC1CABCAB所以 .1又 ， ,1所以 ACB平而 ，11则 . .4 分()设 与 的交点为 ，连结 ，1CBED因为 是 的中点， 是 的中点，DA1BC所以 .E1 E因为 ， ，1DECB平 1ACDB平所以 . 1A平 面.9 分()在线段 上存在点 ，使得 ,且 为线段 的中点.1BM1BCM1AB证明如下：因为 底面 ， 底面 ,1AD所以 .由已知 ， 为线段 的中点，CBB所以 .DA又 ，1所以 平面 .1B取线段 的中点 ，连接
9、 .1AM因为 平面 ，所以 .1CDB由已知 ，由平面几何知识可得 .2B1M又 ,所以 平面 .1CD1又 平面 ，所以 .1BM.14 分18. （本小题满分 13 分）（I）在 中，因为 ，AC1cos2B所以 ， 23B3in.由正弦定理 ,siiab可得 则 . 2,in3A1n2AEM又 为锐角，则 ，所以 . A66C所以 1sin2BCSab132. .6 分（II） sinsi()sin3ACC= 1icoi)2= sin(s24. 11si(2)64C因为 ，(0,)3所以 . 52,6则 . 1sin()(,C所以 的取值范围是 . 13 分Ai 1(0,419. （本
10、小题满分 13 分）解：（I）函数的定义域为 (,).因为 .2(1)(1)()axaxafx又因为函数 f在 (1,3)单调减，所以不等式 在 (,3)上成立.()0设 ，则 ，即 即可，解得 a.()gxa()0g931a所以 a的取值范围是 ,. 7 分 （）当 1时，2()lnxfx，21(1)()xxfx.令 ，得 或 （舍）.0f当 变化时， 变化情况如下表：x(),fx(0,1)1 (,)fx0 +(A极小值 A所以 1x时,函数 )fx的最小值为 1()2f.所以 成立. 13 分 ()2f20. （本小题满分 14 分）解：因为 ，所以 2()e1)xfab2()e()1xf
11、abx因为 ，所以 10(0b所以 2 分()当 时， 时， ，ab(0)1,()2ff所以曲线 在点 处的切线方程为 ()yfx, 12(0)yx即 4 分21x()由已知得 ，2()e1)xfb所以 (e(1)xb （1）当 ，即 时，1b0令 得， 或 ；()e)()xfb令 得， 1bx所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减()fx1,)(,)(1,)b所以函数 在区间 上单调递增()fx1,所以函数 在区间 上的最小值为 1()e(2)0fb解得 显然合题意2b（2）当 时，即 时，10b恒成立，所以函数 在 上单调递增2()e)xf()fx,)所以函数 在区间 上单调递增f1,所以函数 在区间 上的最小值为 ()x 1()e(2)0fb解得 显然不符合题意2b（3）当 时，即 时，10b令 得， 或 ；()e1)()xf1x令 得， b所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减()fx,)(,)b(,1)若 ，即 时，函数 在区间 上单调递减1b2fx1,所以函数 在区间 上的最小值为 ()fx1,()e2)0fb解得 显然合题意若 ，即 时，函数 在在 上单调递减，在 上单1b20b()fx1,)(1,)b调递增此时，函数 在区间 上的最小值为 ()fx1,1()e(2)0bf解得 显然不合题意2b综上所述， 或 为所求 14 分 2b
