1、量子力学试卷之一一, 选择题（20 分）1 表示微观粒子运动状态的波函数 ：),(trA 对粒子的描述是决定性的B 对粒子的描述是统计性的C 是可测量的D 仅描述大量粒子集体运动的规律2 若 和 是体系的两个可能的状态，则它们的线性叠加 也是体12 21c系的一个可能的状态，这时按态的叠加原理可认为：A 体系部分的处于 态，部分的处于 态12B 体系一会儿处于 态，一会儿处于 态C 是体系的一个纯态D 体系的几率密度是 221c3 下列说法正确的是：A 和 在任意态中都不能同时具有确定值xpB 和 在任意态中都不能同时具有确定值xLyC 若 对易，则在任意态中力学量 A，B 都同时具有确定值,
2、D 若 不对易，则 A，B 一定不能同时具有确定值A4 若 为厄米算符，则下列各算符必为厄米算符的是：B,A B （c 为复数）)(2iC D A5 以知两力学算符 和 的对易关系是 ，这意味着：FG0GFA 必定是常数B 和 的本征值相同C 和 的本征值必定不相同FGD 和 有共同的本征波函数6 设 下列说法正确的有：00cABA 一定有共同本征态 一定有共同本征态c 和 必定同时具有确定值B 可以同时具有确定值Ac7. 如果系统的两个可观察量的量子力学算符不对易，则： 其中一个可观察量必定是系统的动量 可观察量必定与时间无关 它们的共同波函数必定为奇宇称 不能同时准确确定两个可观察量二,
3、证明题 (20 分)1 粒子在一维势场 V（x）中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数正交。2 证明： izy三, 计算题 (60 分)1, 计算 。.,23yxxLp2, 不考虑自旋，原子中的电子状态可以表示为 ,)(lmnllmYrR对于初态为 s 态（能级 ， ,终态为 p 态（能级 的电偶极自发跃迁，lE0)1,lEn求终态磁量子数 m=1,0,-1 的分支比。3, 氢原子的波函数（ 时刻）为：t，求 时刻的平均能量。其中)(3)(1)(5.0),( 21201 xxxt为定态空间波函数。nlm4, 对于一维简谐振子，加上一个非简谐势 的干扰，求基态能量的最低阶非零修3xV正。量子
4、力学试卷之一答案一选择题1. B2. C3. A4. C5. D6. A7. D二 证明题1证：设 分别为属于能级 的束缚态波函数由于是一维束缚态； 都可21,21,E21,以取为实函数故只需证明： 0)(21dx均应满足定态薛定谔方程：21和121)(ExVm（1）22)(（2）以 左乘式（1） ， 左乘式（2） ，相减得：2121212)( Em)(212dx积分：dxEm)()(2 21221)(212=0因此当 有：12E021dx正交。21和2证： =2ixyxz+ =0y由上得： i xyz=i =Izz即：izyx三计算题1, 解： 3,xpi2x2yLx,zxp,x,2zp,2
5、z2zzx,x,x,ii2i2, 解：初态波函数为：)(41)(000 rRYrRnn（1）终态波函数为：),( lmlnlmr 1,0m（2）由于三种终态的径向波函数相同，跃迁分支比等于电偶极矩的矩阵元 的rl绝对值平方之比。由于： 321zeyxr(3) 3102111 )(2)(4 eYiY利用 的正交归一性，容易求出：lmY310122rer6622122i3201122 reirr （4）故终态磁量子数 m=1,0,-1 的分支比为 ：1 : 1 : 1，即由 s 态跃迁到三种 p 态的概率相等。3, 解：由于是定态，波函数的时间部分是震荡函数，因此 时刻波函数为：ltiEtiEti
6、E exexextx 221 )(3)(3)(5.0),( 212101 其中 （ 是玻尔半径，n=1,2）为 态对应的能量，得 t 时刻的20naeEnnlm能量平均值： )(07.25/ )3()15.0/331.0),(,/),(),( 2222evEEtxtxHt 4, 解：谐振子的能级为： )21(n相应的波函数为 ：/),()(2axHeNxnxann算出 x 的矩阵元：mn利用矩阵元成法或态的完备性，得 的矩阵元3x)1(2 31)()(2)()( ,3 ,1,333 nm nmnmnmmnx 当其中一个态为基态时（n=0）)63()2()( 303 mlmx这样我可以算出基态的一级修正：00)1(xE为零不符和题目要求，二级修正：32023)2(0)(81m
