1、吴耀德,机械波,扰动的传播形成波,.机械波,电,磁波产生的本质和传播方式,不同,但形式上和描述波的物,理量相同.,以机械波为代表.,12 平面简谐波行波方程,一.机械波产生的条件,1.质点间作用力使扰动传播,波传播方向前面质点作受迫,振动,后面质点作阻尼振动.,2.机械波产生的条件,(1)振源(波源),(2)介质,3.媒质质点扰动,质量不迁移.,二.几个名词,1.横波,其传播方向垂直质点,振动方向的波.,特点:,有波峰,波谷,是介质切变形变产生的,只在,固体中传播.,2.纵波,其传播方向平行质点,振动方向的波.,特点,有密部,疏部,是介质压缩扩张形变产生的,在固液气中都能传播.,3.波线,(波
2、射线),沿波传播方,向假想画出的一条有向射线.,4.波面,(同相面),态)相同的点组成的面.,振动位相(状,波阵面(波前),最前面的波面.,平面波,波面为平面的波.,球面波,波面为球面的波.,5.,机械波,扰动的传播形成波,.机械波,电,磁波产生的本质和传播方式,不同,但形式上和描述波的物,理量相同.,以机械波为代表.,12 平面简谐波行波方程,一.机械波产生的条件,1.质点间作用力使扰动传播,波传播方向前面质点作受迫,振动,后面质点作阻尼振动.,2.机械波产生的条件,(1)振源(波源),(2)介质,3.媒质质点扰动,质量不迁移.,二.几个名词,1.横波,其传播方向垂直质点,振动方向的波.,特
3、点:,有波峰,波谷,是介质切变形变产生的,只在,固体中传播.,2.纵波,其传播方向平行质点,振动方向的波.,特点,有密部,疏部,是介质压缩扩张形变产生的,在固液气中都能传播.,3.波线,(波射线),沿波传播方,向假想画出的一条有向射线.,4.波面,(同相面),态)相同的点组成的面.,振动位相(状,波阵面(波前),最前面的波面.,平面波,波面为平面的波.,球面波,波面为球面的波.,5.,柱面波,波面为圆柱面的波.,平面波是球面波柱面波传播,到无限远的极限情形,三.平面简谐波波动方程,(行波方程),波动方程也称波,函数,波表达式,同一波线上各介质质元振,动位移随时间的变化关系.,一般的波是由频率不
4、同的,简谐波叠加而成的,故只讨论,简谐波.,先讨论平面简谐波,即各介质质元的振幅相同.,取波线为x轴,波沿x轴正向和负向传播,以,此导出行波方程.,波源在x0点,1.波源x0振动方程,设波速为u,柱面波,波面为圆柱面的波.,平面波是球面波柱面波传播,到无限远的极限情形,三.平面简谐波波动方程,(行波方程),波动方程也称波,函数,波表达式,同一波线上各介质质元振,动位移随时间的变化关系.,一般的波是由频率不同的,简谐波叠加而成的,故只讨论,简谐波.,先讨论平面简谐波,即各介质质元的振幅相同.,取波线为x轴,波沿x轴正向和负向传播,以,此导出行波方程.,波源在x0点,1.波源x0振动方程,设波速为
5、u,y=Acos(t+0),y为质元位移,其频率与波源相同.,故 x 轴上各点振动方程与波,它可以与x轴平行,也可以与x,轴垂直.,质元x0使临近质点作,受迫振动,源有相同形式,只是初相不同.,2.行波方程,以波源x0开始振,动为起始时刻,位于波源两侧,质元x,的振动都晚,|xx0|/u,时,间.,当波源振动t 时间时,质元,x只振动了t|xx0|/u的时间.,故质元x的振动方程为,y=Acos(t|xx0|/u)+0,当xx0 ,有正向波行波方程,y=Acos(tx/u)+(x0/u+0),y=Acos(t+0),y为质元位移,其频率与波源相同.,故 x 轴上各点振动方程与波,它可以与x轴平
6、行,也可以与x,轴垂直.,质元x0使临近质点作,受迫振动,源有相同形式,只是初相不同.,2.行波方程,以波源x0开始振,动为起始时刻,位于波源两侧,质元x,的振动都晚,|xx0|/u,时,间.,当波源振动t 时间时,质元,x只振动了t|xx0|/u的时间.,故质元x的振动方程为,y=Acos(t|xx0|/u)+0,当xx0 ,有正向波行波方程,y=Acos(tx/u)+(x0/u+0),为原点振动初位相.,写成,y=Acos(tx/u)+0,0= x0/u+0,x点的振,动初位相为,0|x=x/u+0,当xx0 ,有负向波行波方程,y=Acos(t+x/u)(x0/u0),为原点振动初位相.
7、,写成,y=Acos(t+x/u)+0,0=x0/u+0,x点的振,动初位相为,0|x=x/u+0,推广:,正向波行波方程,y=Acos(tx/u)+0,传播开去,如不指定波源在何处,则表明,波从远处传来沿 x 正方向,原点初位相0 ,x点,初位相为x/u+0 ;,为原点振动初位相.,写成,y=Acos(tx/u)+0,0= x0/u+0,x点的振,动初位相为,0|x=x/u+0,当xx1 ,有x1 ,有0 .,表示x2比x1,落后.,波程差,对同一波而言,波向前传播到,达的两点的波程之差.,对两波而言,两波传到同一点,的波程之差.,7.标准波动方程,y=Acos(tx/u)+0,y=Acos
8、2(t/Tx/)+0,y=Acos2(tx/)+0,五.求波动方程,例1.一简谐横波以0.8m/s速度沿长弦线传播.在x=0.1m处弦线质点位移 随时间变化关系y=0.05sin(1.04.0t),试,6.波程与波程差,波程,波沿波线传播的路程.,波程差,对同一波而言,波向前传播到,达的两点的波程之差.,对两波而言,两波传到同一点,的波程之差.,7.标准波动方程,y=Acos(tx/u)+0,y=Acos2(t/Tx/)+0,y=Acos2(tx/)+0,五.求波动方程,例1.一简谐横波以0.8m/s速度沿长弦线传播.在x=0.1m处弦线质点位移 随时间变化关系y=0.05sin(1.04.0
9、t),试,解:,y=0.05sin(1.04.0t),=0.05cos/2(1.04.0t),=0.05cos(4.0t+0.57),设波沿正向传播,有,y=0.05cos4.0t(x0.1 )/0.8+0.57,=0.05cos(4.0t5x)+1.07),设波沿负向传播,有,y=0.05cos4.0t+(x0.1 )/0.8+0.57,=0.05cos(4.0t+5x)+0.07),例2.一平面简谐波t=0时刻波形曲线如图.(1) 已知 u=0.08m/s, 写出波函数; (2) 画出t=T/8时的波形曲线,写出波函数,6.波程与波程差,波程,波沿波线传播的路程.,解:,y=0.05sin
10、(1.04.0t),=0.05cos/2(1.04.0t),=0.05cos(4.0t+0.57),设波沿正向传播,有,y=0.05cos4.0t(x0.1 )/0.8+0.57,=0.05cos(4.0t5x)+1.07),设波沿负向传播,有,y=0.05cos4.0t+(x0.1 )/0.8+0.57,=0.05cos(4.0t+5x)+0.07),例2.一平面简谐波t=0时刻波形曲线如图.(1) 已知 u=0.08m/s, 写出波函数; (2) 画出t=T/8时的波形曲线,写出波函数,所以,T=/u=5s,考察原点O,y0=0,v0=dy/dt0,旋矢图中对应P点,故0=/2.,有,y=
11、0.04cos2(t/5x/0.4)+/2 =0.04cos0.4t5x+/2,(2) t=T/8的波形方程,y=0.04cos2(T/8)/Tx/0.4+/2,=0.04cos(5x+3/4),解:(1)由图知,A=0.04m,=0.4m.,所以,T=/u=5s,考察原点O,y0=0,v0=dy/dt20000Hz,次声波,20000Hz,次声波,A|A1A2|,即取决于初位相差1020,及两波的波程差r2r1 .,4.产生相干波的方法,(1)分波阵面法;,(2)分振幅法.,解:,=2(r2r1)/+1020,=3,振幅分布取决于,=2(r2r1)/+1020,当=(2k+1)时,A=|A1
12、A2|,当为其它值时,A1+A2A|A1A2|,即取决于初位相差1020,及两波的波程差r2r1 .,4.产生相干波的方法,(1)分波阵面法;,(2)分振幅法.,解:,=2(r2r1)/+1020,=3,例2.位于AB两点的波源,振幅相等,频率100Hz,相差为 ,若AB相距30m, 波速400m/s, 求AB连线上二者之间波叠加而静止点的位置.,解:,在AB间取点C ,它距,AB分别为r和lr ,波源在C点引起振动相差为,=2(r2r1)/+1020,=2(lrr)/+,=2(l2r)/+,静止即要求,=(2k+1),故,2(l2r)/,=2k,l2r=k,r=(lk)/2,而=u/=4m,
13、得静止点的位置 r=1,3,5,7,29m,例2.位于AB两点的波源,振幅相等,频率100Hz,相差为 ,若AB相距30m, 波速400m/s, 求AB连线上二者之间波叠加而静止点的位置.,解:,在AB间取点C ,它距,AB分别为r和lr ,波源在C点引起振动相差为,=2(r2r1)/+1020,=2(lrr)/+,=2(l2r)/+,静止即要求,=(2k+1),故,2(l2r)/,=2k,l2r=k,r=(lk)/2,而=u/=4m,得静止点的位置 r=1,3,5,7,29m, 5 驻波,特殊的干涉现象,1.形成的条件,振幅相同传播,方向相对的两列相干波.,2.驻波方程,取两波在空间某,点引
14、起振动,同时达到最大为,起始时刻,该点为坐标原点.,y1=A0cos2(tx/),y2=A0cos2(t+x/),合成波,y=y1+y2,=2A0cos(2x/)cos(2t),3.结论,(1)各点作频率为的谐振动;,A=2A0cos(2x/),(2)振幅随坐标而变;,=2A0coskxcost, 5 驻波,特殊的干涉现象,1.形成的条件,振幅相同传播,方向相对的两列相干波.,2.驻波方程,取两波在空间某,点引起振动,同时达到最大为,起始时刻,该点为坐标原点.,y1=A0cos2(tx/),y2=A0cos2(t+x/),合成波,y=y1+y2,=2A0cos(2x/)cos(2t),3.结论
15、,(1)各点作频率为的谐振动;,A=2A0cos(2x/),(2)振幅随坐标而变;,波腹,振幅最大的点,A=2A0,有,|cos(2x/)|=1,2x/=k,坐标,x=k/2,k=0,1,2,波节,振幅为零的点,A=0,有,cos(2x/)=0,2x/=k+/2,坐标,x=(k+1/2)/2,k=0,1,2,相邻波腹(或波节)的间距,x=xk+1 xk,=(k+1)/2k/2,=/2,波腹间距为行波的半个波长,(3)振动位相分布,(各质点的振动步调),相邻两波节间各点振动同,步调,同时达到最大(或最小).,相差为0.,=2A0coskxcost, 同一波节的两侧各点振动,波腹,振幅最大的点,A
16、=2A0,有,|cos(2x/)|=1,2x/=k,坐标,x=k/2,k=0,1,2,波节,振幅为零的点,A=0,有,cos(2x/)=0,2x/=k+/2,坐标,x=(k+1/2)/2,k=0,1,2,相邻波腹(或波节)的间距,x=xk+1 xk,=(k+1)/2k/2,=/2,波腹间距为行波的半个波长,(3)振动位相分布,(各质点的振动步调),相邻两波节间各点振动同,步调,同时达到最大(或最小).,相差为0., 同一波节的两侧各点振动,反步调,一侧达到最大,另一侧,达到负最大.,相差为 .,4.半波损失,以横波在张紧弦上传播为例,波沿弦传播,在固定点反射.,反射波与入射波干涉形成驻,波,反
17、射点为一波节.,从方程看:,设入射波表达式为,y1=A0cos2(tx/),入射点坐标为x0,入射点振动,为,y10=A0cos2(tx0/),依惠更斯原理,反射点振动为,y20=A0cos2(tx0/),反射波与入射波在反射点,(也,是入射点)的叠加应是,y0= y10+ y20,反步调,一侧达到最大,另一侧,达到负最大.,相差为 .,4.半波损失,以横波在张紧弦上传播为例,波沿弦传播,在固定点反射.,反射波与入射波干涉形成驻,波,反射点为一波节.,从方程看:,设入射波表达式为,y1=A0cos2(tx/),入射点坐标为x0,入射点振动,为,y10=A0cos2(tx0/),依惠更斯原理,反
18、射点振动为,y20=A0cos2(tx0/),反射波与入射波在反射点,(也,是入射点)的叠加应是,y0= y10+ y20,=2A0cos2(tx0/),其振幅为2A0 ,应是一波腹.,事,实为波节.,即反射点振动应为,y20=A0cos2(tx0/),=A0cos2(tx0/)+ ,这说明 反射波产生了 的位,相突变,.反射点振动又可写为,y20=A0cos2t(x0+/2)/,从波程上讲,相当于波经过反,射点多(或少)走了半个波长.,所以称半波损失,(1)半波损失实质,位相突变,(2)半波损失产生的条件,波从,波疏媒质向波密媒质传播,在,反射波中产生半波损失.,任何,情况下折射波没有半波损失.,=2A0cos2(tx0/),
