1、湖南省湘潭市 2009 届高三第一次模拟考试数学试卷(理科)本试卷分第卷(选择题、填空题)和第卷(解答题)两部分，共 150 分，考试时置 120 分钟。第卷（选择题 50 分、填空题 25 分，共 75 分)注意事项：请将选择题、填空题答案填在第卷解答题前的答题卡内。一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。将正确答案的代号填入答卷的表格中) 1、设 A、B 为两个非空集合：AB=ab|a A，b B，(“”为乘法运算，如 23=6)，若 A=O,1，B=-1,2)，则 AB 子集的个数是A2 B4 C8 D162、等
2、差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是nanS3170a19SA55 B.5 C.100 D.不确定3、已知函数 ，则 的值是12xf1fA.0 B.1 C.2 D. 344、已知 ，则 的值为3sin5xsin2xA. B. C. D.1925161457255、已知 ， ，则 是 的:px230:8xqpqA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6、若实数 满足： ， ，则,xy12xyA. B. C. D.00,0,xy0,xy7、已知函数 上任一点 处的切线斜率 ，则该函数的单fR,f 21k调减区间为A. B. C. D.1,2,1,2,8、函数
3、 的图像是lncos2yx9、当 时，函数 在 时取得最大值，则 a 的取值范围是0,2x2413fxax2A. B. C. D.1,0,310、记集合 ， ，将 M 中的元素按从大0,234,56T3124,12,477iaMT到小的顺序排列，则第 2008 个数是A. B.234117723456C. D.234562341077二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）www.ks5 11、已知复数 ， ，那么 的值是 .1zi2zi12z12、常数 a，b 满足 ，则 a+b= .1lmxab13、已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 .2,N60.198Pp4P
4、14、在ABC 中， ,则 = ，ABC 是 三角形.sinicBAC15、已知集合 ,函数 的定义域为 .1|32x2()logfxaxQ（）若 ， ，则实数 a 的值为 .,PQ,3P()若 ，则实数 a 的取值范围为 .三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）16、 （本题满分 12 分）设函数 ，其中向量 ， ， ,且 的图像讲fxab2,cosamx1sinco,1bxxRyfx过点 .,14（）求实数 m 的值；（）求函数 的最大值及此时 x 值的集合；fx（）求函数 的图像中，求出离坐标轴 y 轴最近的对称方程.17、 （本
5、题满分 12 分）已知各项均为正数的数列 满足 ，且 是 的等差中项.na22*10nnaN32a4,()求数列 的通项公式 ；n（）若 ， ,求使 成立的正整数 n 的最小值.12logb12nnSb15nS18、 （本题满分 12 分）一个口袋中有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球。（）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两个球恰好颜色不同的概率；（）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的数学期望。19、 （本题满分 13 分）如图，三棱锥 中， 底面 于 ， , ,点 、 分PABCABC90A42PBCAEF别是 和 的中点（）求证：侧面 侧面 ；P（）求点 到侧面
6、的距离；（）求二面角 的大小.ABEF20、 （本题满分 13 分）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ，右顶点为 .2,03,0（）求双曲线 C 的方程（）若直线 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 （其中 为原点） ，求:lykx 2OOk 的取值范围21、 （本题满分 13 分）已知函数 ，1ln()3fxbx32()gax（）若 在 取得极值，求 b 的值；)（）若 在 上是增函数，求实数 a 的取值范围；(g,（）当 时，求方程 有根时 的最小值。0,ab()lnfxgxk参考答案及评分标准一、1、C 2、B 3、C 4、D 5、B 6、A 7、B 8、A 9、D 10、
7、A二、11、3 一 i 12、7 13、0.8002 14、 ，等腰直角 015、 ;(,)a三、16、解：（1） 3 分1cos21()(sin)(sin2cos)2xfxbmmx，得 5 分i4f（2）由（1）得 7 分112()(sin2cos)sin()4fxxx当 时， 的最大值为 9 分sin(4)f由 ，得 值为集合为 10 分sin(2)14xx|,8xkZ(3)由 得 所以 时， 为所,2kZ3,218x求.12 分17、解：www.ks5 (1) 221110,()(2)0nnnnaaa数列 的各项均为正数，1,n即 ，所以数列 是以 2 为公比的等比数列3 分1(*)nN
8、n是 的等差中项，32a34,243111,84,2,aaa数列 的通项公式 6 分nn（2）由（1）及 得 ，8 分12logbanb12nnS342 n25 1(1) nn-得， 23451112()22()2 nn nnnS10 分要使 成立，只需 成立，即10n150n15,n使 成立的正整数 n 的最小值为 512 分25S18、解：(1)解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白” ，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件 A，“两球恰好颜色不同”共 24+42=16 种可能， 4 分164()9PA解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验 每次摸出一球得白
9、球的概率为2163P“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 4 分124()()9Cp（2）设摸得白球的个数为 ，依题意得43242821(0),(1);()565165QPPP10 分12 分18213E19、证明：（1） 平面 平面 平面 ,PBACPBAC又 平面 侧面 侧面 4 分,AC（2） 为 的中点， E又 侧面 侧面 从而 侧 故 的长就是点 到侧面 的距离在等BPAC腰 中，RtPB 4BE8 分说明：亦可利用向量的方法求得（3）几何方法：可以证明 就是二面角 的AEFABEF平面角10 分从而 6arcos313 分亦可利用等积转换算出 到平面 的高，FABE从而得出二面角 的
10、平面角为 13 分3arcsin说明：也可以用向量法：平面 的法向量为 (0,1)平面 的法向量为 10 分ABE(1,)b二面角 的平面角为6cos,3aABEF6arcos320、解（1）设双曲线方程为21xyb由已知得 ，再由 ，得,ac22a1b故双曲线 的方程为 .5 分C213xy（2）将 代入 得yk22(3)690kxk由直线 与双曲线交与不同的两点得l 22210(13)6()kk即 且 . 设 ，则8 分213k2,(,)AABxy，由 得 ，2269,13ABABxyxyk2O2ABxy而 ()()(1)()bxkkx.11 分2222967(1)3kk于是 ，即 解此不
11、等式得 272901213.k由+得 213k故的取值范围为 13 分3(,),121、解：（1）由题设知 ，又 ，得 2 分0f 1()3fxb0（2） 3 分2()3gxax由题设知 时1,()g4 分x2x（当 时，取最小值）4 分min313a1而 时，当且仅当 时 7 分x()0g3a（3） 时，方程 变形为0,blnfxk()lnfxgxk令 得 9 分3318()()lnuxfg 283u由 ，得 或 ，28302x2由 ，得 11 分2()ux3又因为 0故 在 取得唯一的极小值()x327又当 时， 的值 ，当 时，()ux0x的值 ，函数 和 草图如右()uxyk()ux两图像由公共点时，方程有解， ，327故 的最小值为 ，13 分k327
