1、安徽高中数学 http:/ 第 1 页 共 10 页湖北省囊樊市 2010 年 3 月高三调研统一测试数 学 试 题（理）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数 等于 （ ）i3A1+2i B1-2i C2+i D2-i2满足条件 的所有集合 A 的个数是 （ ）3,210,A6 B7 C8 D163抛物线 的焦点坐标为 （ ）24xyA （1，0） B C （0，1） D （ ）)16,0( 0,814偶函数 在区间0,a（a0）上是单调函数，且满足 ，则方程 )(xf )(af 0)(xf在区间-a，a内根
2、的个数是 （ ）A0 B1 C2 D35某班要从 6 名同学中选出 4 人参加校运动会的 4100m 接力比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有（ ）A24 种 B72 种 C144 种 D360 种6设 m、n 是平面 内的两条不同直线， 是平面 内两条两相交直线，则 的一个21,l充分不必要条件是 （ ）A B C Dl1, 21,lm21,lnnlm1,/7如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数。给出下列函数： ;cosin)(xxf );cos(i)xxf 2n其中“互为生成”函数的是 （ ）A
3、B C D8若函数 的导函数 则函数 的单调递减区间是 （ ） )(xf ,34)(2xf )1(xfA （2，4） B （-3，-1） C （1，3） D （0，2）9设 O 为坐标原点，点 M 坐标为（2，1） ，若点 满足不等式组： ，则),(yxN10234xy使 取得最大值的点 N 的个数是 （ ）N安徽高中数学 http:/ 第 2 页 共 10 页A无数个 B1 C2 D310在平面直角坐标系中，定义 为点 到点)(*1Nnxyn),(nyxP的一个变换，我们把它称为点变换，已知 P1（0，1） ，P 2),(11nnyxP2,(,是经过点变换得到的一列点。设 ，数列 的前 n
4、项11()nnxy)*N|1naa和为 的值为 （ ）naSlim,那 么A B C D22212二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。将答案填在答题卷相应位置上。11已知等差数列 中，若 。na713,a则12若 的展开式中 的系数为 ，则 =),()1(2Nx4xn )11(lim32naa。13函数 的部分图像如)0,)(sin)(Axf图所示，则 的值为321f21(f。14如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 。2现有如下四个结论： ;EACEF/平面 ABCD；三棱锥 ABEF 的体积为定值；异面直线 A
5、E、BF 所成的角为定值。其中正确结论的序号是 。15在平面向量中有如下定理：设点 O、P、Q、R 为同一平面内的点，则 P、Q、R 三点共线的充要条件是：存在实数 t，使 。试利用该定理解答下列问题：tt)1(如图，在 中，点 E 为 AB 边的中点，点 F 在 AC 边上，ABC且 CF=2FA，BF 交 CE 于点 M，设 ，AyEx则 = 。yx安徽高中数学 http:/ 第 3 页 共 10 页安徽高中数学 http:/ 第 4 页 共 10 页三、解答题：本大题共 6 小题，满分 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16 （本大题满分 12 分）已知函数 的导函数。)
6、(,cosin)( xffxxf 是（1）求函数 的最大值和最小正周期；2)(fF（2）若 的值。xxfxf cosincos1,2)(2求17 （本大题满分 12 分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 后得到如下部分频率分布直方图。观察图形的信息，10,9,6.50,4回答下列问题：（1）求分数在 内的频率，并补全这个频率分布直方图；8,7（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分；（3）若从 60 名学生中随机抽取 2 人，抽到的学生成绩在 记 0 分，在 记 1 分，6,480,6在 记
7、2 分，用 表示抽取结束后的总记分，求 的分布列和数学期望。10,818 （本大题满分 12 分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，ABAC，PA平面 ABCD，且PA=AB，点 E 是 PD 的中点。（1）证明：ACPB；（2）证明：PB/平面 AEC；（3）求二面角 EACB 的大小。安徽高中数学 http:/ 第 5 页 共 10 页19 （本大题共 12 分）直角三角形 ABC 中， ，B、C 在 x 轴上且关于原点 O 对称，D 在边 BC 上，90BD=3DC， 的周长为 12。若一双曲线 E 以 B、C 为焦点，且经过 A、D 两点。ABC（1）求双曲线 E 的方
8、程；（2）若一过点 P（3，0）的直线 与双曲线 E 相交于不同于双曲线顶点的两点 M、N，且l，问在 x 轴上是否存在定点 G，使 ？若存在，求出NM )(G所有这样定点 G 的坐标；若不存在，请说明理由。20 （本大题满分 13 分）已知函数 013)(2xemxf（1）讨论函数 的极值情况；)(f（2）设 试比较,ln21时当xxg 及与 )()(2121xgxf三者的大小；并说明理由。)(2121 （本大题满分 14 分）已知数列 ).2(,2111 naann满 足（1）求数列 的通项公式；（2）当 ;3:,21naan求 证时（3）若函数 ，求证：)()(1(,)(:)( *2Nn
9、ffffxf 满 足nkf1.2)(安徽高中数学 http:/ 第 6 页 共 10 页参考答案一、选择题：CCBCB BCDAD二、填空题：1111 122 13 14 15238a75三、解答题16 （1）解： ， 2 分()cosinfxx 4 分()cs2i12()14Fx 当 时， 6 分48kxkZmax()21F最小正周期为 8 分2T（2）解：由 得： 10 分()()fxfsinco2sinta3xxx ； 12 分2221sinita16cosscx17 （1）解：设分数在 内的频率为 x，根据频率 分 80,7布直方图，有（0.01 + 0.0152 + 0.025 +
10、0.005）10 + x = 1，可得 x = 0.3，所以频率分布直方图如右图所示4 分（求解频率 3 分，画图 1 分）（2）解：平均分为：450.1.560.175.x7 分8.29.7（3）解：学生成绩在 的有 0.2560 = 15 人，在 的有 0.4560 = 27 人，,480,6在 的有 0.360 = 18 人，10.,的可能取值是 0，1，2，3，4 8 分0 1 2 3 4P 78075981590安徽高中数学 http:/ 第 7 页 共 10 页则 ， ，215607()8CP152760()8CP，1258760(2)9，127860(3)5CP218605(4)
11、9CP所以 的分布列为 11 分12 分720781501342.1859290E18 （1）证： PA平面 ABCD， AC 在平面 ABCD 内， AC PA 又 AC AB， PA AB = A， AC平面 PAB 2 分又 PB 在平面 PAB 内， AC PB 4 分（2）证：连结 BD，与 AC 相交于 O，连结 EO ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点 5 分又 E 为 PD 中点， PB EO 6 分又 PB 在平面 AEC 外， EO 在 AEC 平面内， PB 平面 AEC 8 分（3）解：过 O 作 FG AB，交 AD 于 F，交 BC 于 G， 则 F 为
12、 AD 中点 AB AC， OG AC又由（1） （2）知， AC PB， EO PB， AC EO 10 分 EOG 是二面角 E AC B 的平面角连结 EF，在 EFO 中， ，12FPA12OB又 PA = AB， EF FO， EOF = 45 EOG = 135，即二面角 E AC B 的大小为 135 12 分19 （1）解：设双曲线 的方程为 ，21(0)yxabab，则 B（ c，0） ， D（ a，0） ， C（ c，0） 由 BD = 3DC，得 ，即3()2安徽高中数学 http:/ 第 8 页 共 10 页 2 分22|16,4|.ABCa解之得 ，1a2,3cb双曲
13、线 的方程为 4 分E1yx（2）解：设在 轴上存在定点 G（ t，0） ，使 ()BCGMN当 l x 轴时，由 ，得 ，这时 ，显然MPN1BC当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 ， M（ x1， y1） ， N（ x2， y2）由 ，得： 6 分PN 1122223(3)(3)xy， ， ，(40)BC121( )GMtxty， ，故()N12()xtt1223xt即 8 分1212(3)60xtt由 得：2()ykx22()930kxk其中 且 ，即 且23022810 分21212693kkxx，代入，得： ，化简得： 226()803ttkk13t因此，在 轴上存在定
14、点 ，使 12 分x1()G，()BCGMN20 （1）解：当 x 0 时， f （ x） = ex 1 在（0，+）单调递增，且 f （ x） 0；当 x0 时， 2()fm安徽高中数学 http:/ 第 9 页 共 10 页若 m = 0， f （ x） = x20, f （ x） = 在（，0）上单调递增，且3131()fx又 f （0） = 0， f （ x）在 R 上是增函数，无极植；若 m 0，则 f （ x） = 在（，0）单321mx调递增，同可知 f （ x）在 R 上也是增函数，无极值； 4 分若 m 0， f （ x）在（，2 m）上单调递增，在（2 m，0）单调递减，又
15、 f （ x）在（ 0, +）上递增，故 f （ x）有极小值 f （0） = 0， f （ x）有极大值 6 分34(2)（2）解：当 x 0 时，先比较 ex 1 与 ln（ x + 1）的大小，设 h（ x） = ex 1ln（ x + 1） （ x 0）h（ x） = 恒成立x h（ x）在（0，+）是增函数， h（ x） h （0） = 0 ex 1ln（ x + 1） 0 即 ex 1 ln（ x + 1）也就是 f （ x） g （ x） ，对任意 x 0 成立故当 x1 x2 0 时， f （ x1 x2） g （ x1 x2） 10 分再比较 与 g（ x1） g （ x2）
16、= ln（ x1 + 1）ln（ x2 + 1）的大2()ln()小=1212()()gxxg1212l()ln()l()xx= 11lnln(0 g （ x1 x2） g （ x1） g （ x2） f （ x1 x2） g （ x1 x2） g （ x1） g （ x2） 13 分21 （1）解： ，nna1()(nnaa 是以 2 为公比， 为首项的等比数列1na 124故 2 分1n安徽高中数学 http:/ 第 10 页 共 10 页又由 得：112nna112(2)(nnaa 是以1 为公比， 为首项的等比数列21故 4 分12()nna得： （ n2）31n又 a1 = 2 也适合上式所求通项为 6 分2()nnn（2）解：当 n 为偶数时，11 11332()22nnnna 1132()(nn 8 分21213()2nnaa 当 n 为奇数时， ， ，又 n + 1 为偶数1)03n10na由（1）知， 10 分121213nnaa （3）证： ()()0fff ，由此得：()fnf ()()20ffff 又 21111()()()(f fnfnfff 12 分fn故 1111()()2()3()kffffffnf 14 分n
