1、立體圖形一、體積 .p2二、角柱和角錐.p2p5圓柱與圓錐三、球體.p5p6四、柏拉圖多面體(The Platonic Solids) p6p7五、下列哪一個圖形是正方體的展開圖？p7p9六、長方體的長、寬、高是怎麼決定的？p10p11七、認知結構p11p14八、能力指標p15p16九、教學p16p18十、迷思p18p19十一、參考網站p19一、體積（一）定義：一物體的體積為此物體所佔空間的大小。此一定義可獨立於物體之外，而 成為某一封閉曲面內的空間之大小。若定義面積是封閉曲線所圍成的平面區域的大小。（二）三維空間的量：面積和體積的意義的唯一差別在於：一個是二維的；一個是三維的。二維空間的每一
2、點可畫出兩條互相垂直的線。三維空間的每一點則可畫出三條互相垂直的線， 體積代表三維空間的量，含有長、寬、厚、高等在空間佔有量的大小。（三）物體佔空間的大小：體積表示物體佔空間的大小，不論是否為實心或空心物件，均可透過視覺 觀察外部的大小，如：大象比老虎大、籃球比棒球大，此均代表著前面所佔的空間較後者為大，一般又稱為外體積。（四）其他意義： Linda, Margaret & Olwen （1984）則認為體積應包含下列四個 不同層面的意義：1.外體積（external volume）：即透過視覺，知覺到的物體占空間的大小，不論其為實心或空心，如：皮球、積木或空臬子。2.內體積（internal
3、 voluem）：即物件內部空間大小，此乃指空心物件的內部容積，一般指的是裝載固體的小個物，如：盒子內可裝個白色小積木，表示盒子的容積是立方公分。3.排他性體積（displace volume）：即物件體積的大小是透過排出的液量表示原物件的體積，如：石頭的體積，可透過將其擲入滿水位的水缸內，流出的液體體積即表示石頭的體積。4.液積與容量（liquid volume and capacity）：液積表示液體所佔有空間的量，代表液體體積又稱液量。容量則是容器的最大裝載量，一般表示裝載液體的量。二角柱和角錐:(一)辨識角柱與角錐角柱1 上下兩個底面全等2 上下兩個底面互相平行 3 側面都是長方形4
4、側邊分別和底面垂直5 側邊互相平行角錐:1 只有一個底面。2 另一端是尖點。3 側面共同的定點是一點。 4 底面是正多邊形時，角錐的側面則是等腰三角形等。圓柱:上下底為圓形，側面為曲面 (展開後為長方形)。 圓錐:底面是圓形，側面為一個曲面 (展開後為一個扇形)。 視圖是在立體（如正方體、長方體、角柱與角錐）命名後，為了要確保學生能夠從不同取景角度畫出的平面圖像，把視圖稱為平面立體圖。透視圖是把視圖加入看不見的邊，以虛線表示而得到的。展開圖是把立體剪開，沿著邊剪開後平貼在桌上，而且剪開來的幾個面是連在一起的，摺起來又可以摺成原來的立體，這種叫做立體的展開圖。角柱與角錐比較圖名稱 透視圖 展開圖
5、 描述三 角 柱三角柱的上下底是全等三角形，側面為長方形。四 角 柱四角柱的上下底是全等四邊形，側面為長方形，四角柱也就是俗稱的長方體。五 角 柱五角柱的上下底是全等五邊形，側面為長方形。六 角 柱六角柱的上下底是全等六邊形，側面為長方形。七 角 柱七角柱的上下底是全等七邊形，側面為長方形。八 角 柱八角柱的上下底是全等八邊形，側面為長方形。三 角 錐三角錐的底面是三角形，側面也是三角形。四 角 錐四角錐的底面是四邊形，側面為三角形。五 角 錐五角錐的底面是五邊形，側面為三角形。六 角 錐六角錐的底面是六邊形，側面為三角形。七 角 錐七角錐的底面是七邊形，側面為三角形。八 角 錐八角錐的底面是
6、八邊形，側面為三角形。圓 柱圓柱的上下底為圓形，側面為曲面(展開後為長方形)。圓 錐圓錐的底面是圓形，側面為一個曲面(展開後為一個扇形)。三.球體()定義 :球體不是多面體，由一個曲面組成， 其上每一點到給定點（球心）的距離都是相等的，它的方程是(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2（按笛卡兒坐標系）式中，r 為半徑，而（a,b,c ）為球心。球的表面積為 4r 2。由上述面圍成的立體圖形，或被球面包圍的空間其體積為 4/3r 3。這種曲面的全曲率在每一點都是常數且是正的。位於此曲面上的直線與平行公設不一致，所以在這種曲面上的幾何是非歐幾何的其中一種。(二)球體積 :西 元 510 年
7、 祖 沖 之 兒 子 提 出 冪 勢 既 同 ， 則 積 不 容 異 ， 即 二 個立 體 在 等 高 處 的 截 面 積 相 等 ， 則 體 積 相 等 。 1100 年 後 直 到 十 七 世 紀 的西 方 ， 這 個 定 理 才 由 義 大 利 數 學 家 、 物 理 學 家 伽 利 略 的 學 生 卡 瓦 列里 提 出 。上 圖 裡 ， 球 的 半 徑 是 r， 圓 柱 體 的 底 圓 半 徑 是 r， 圓 柱 體 高 是2r。 並 將 圓 柱 體 挖 去 兩 個 頂 圓 半 徑 是 r， 高 是 r 的 圓 錐 體 。由 上 圖 知 道 它 們 等 高 處 的 截 面 積 相 等 。
8、 右 邊 立 體 體 積 等 於 圓 柱 體 體 積 減去 圓 錐 體 體 積 的 2 倍 ， 即 (r22r)-2r2r = 。 因 此 左 邊 ， 半徑 為 r 的 球 體 體 積 是 。四.柏拉圖多面體(The Platonic Solids)(一)定義 :一個多面體的每一個面都是全等的正多邊形。(二)正多面體命名正多面體是依其面數命名的，例如：由四個三角形組成的正四面體，由六個正方形組成的正六面體(立方體) ，由八個三角形組成的正八面體。雖然平面上的正多邊形有無限多種可能，但是正多面體卻只有 5 個。觀察多面體，每一個頂點至少有三個面才可以拼的起來，如果用一個或是兩個面拼會有漏洞，一定
9、要有三個面以上才可以。 正四面體Tetrahedron正六面體hexahedron(Cube)正八面體Octahedron正十二面體Dodecahedron二十面體Icosahedron使用的正多邊形 每一個頂點有幾面 拼成的多面體正三角形 3 正四面體(三角錐)正三角形4 正八面體正三角形5 正二十面體如果使用 6 個正三角形，如圖 拼出來是平面圖形，所以不能拼出正多邊形。如果使用 6 個以上的正三角形，角度和超過 360 度，所以不能拼出正多邊形。使用的正多邊形 每一個頂點有幾面 拼成的多面體正四邊形(正方形)3 正六面體(正方體)如果使用 4 個正方形，如圖 拼出來是平面圖形，所以不能拼
10、出正多邊形。如果使用 4 個以上的正三角形，頂點角度和超過 360 度，所以不能拼出正多邊形。使用的正多邊形 每一個頂點有幾面 拼成的多面體正五邊形3 正十二面體如果使用 4 個正五邊形，如圖拼出來是平面圖形，所以不能拼出正多邊形。如果使用 4 個以上的正三角形，角度和超過 360 度，所以不能拼出正多邊形。五. 下列哪一個圖形是正方體的展開圖？一個正方體的展開圖至少必須擁有兩個面向，那就是說它不能全排成一長條。我們也觀察到如下圖形也無法拼成正方體。用上、下、前、後、左、右來代表正方體的每一個面:對於任意由六個正方形相連的圖形，任選一面當作正方體的”上”面，有此格往四周進行推演。上圖所示將前、
11、後、左、或右標示在與它相鄰的格子裡，而和上相對的下要填在隔一行或列的格子裡。依此方法推演到六個方格都填滿為止，結果若沒有任兩格是相同的，就可以判定這是一個正確的正方體展開圖。如上圖，每一個都是正確的正方體展開圖。反過來說，如果有某兩格是相同的，那表示這個一定不是正確的正方體展開圖。如下圖：二下重疊！將正方體模型在桌面滾動的情形，以樹形圖把各種展開方式作有系統的紀錄，得到如下展開示意圖：因此得到正方體的所有不同的展開圖共 11 種：六. 長方體的長、寬、高是怎麼決定的？講解長方體之前，我們先以長方形來做解釋，以下面的長方形為例，當我們將邊定為長時，則邊就是寬；相反的，當我們將邊定為寬時，邊就是長。所以說，長與寬並非絕對，而是相對的，換句話說，比較長的邊不一定是長，端看繪圖者的定義來決定。同樣的道理引申到長方體上，長與寬的位置也並非絕對，但是通常我們會先決定高的位置。一般來說，如果桌面上放著一個長方體，則這個長方體的高，指的就是與桌面垂直的線段高度，當高確定之後，再決定長與寬的線段（見下圖）。至於為何正方體的每一邊都稱為邊長，而長方體三邊卻有三種不同名稱？這是因為正方體不管任何一邊都是定量，一定與其他邊等長，所以只定一種名稱。但是長方體是由四條一組、總共三組的線段所組成，所以才需要分別以長、寬、高三種不同名稱分別稱呼。小朋友在學會畫長方體、立方體等圖形時，必須先學會立體透視圖。從
