1、十四、统计、概率、随机变量及其分布1 （2011 年房山区期末文 4）甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如下图所示甲 茎 乙5 7 1 6 88 8 2 2 3 6 7设 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差， 分别表示甲、乙两名运动员12,s 12,x测试成绩的平均数，则有（ B ）A ， B ， 12x12s12x12sC ， D ， 2.（2011 年石景山期末理 4）从 名男同学和 名女同学中，任选 名同学参加体能测试，33则选出的 名同学中，既有男同学又有女同学的概率为（ C ） 3A B C D512351876873.（2011 年石景山期末文 4）在一盒子里装有 号球 个（
2、 ， ， ） ，现从盒子中i1i23每次取一球，记完号码后放回，则两次取出的球的号码之积为 的概率是（ C ）6A B C D1215134.（2011 年丰台区期末理 2）某单位有老年人 27 人，中年人 54 人，青年人 81 人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样已知在青年人中抽了 18 人，那么该单位抽取的样本容量为( B ) A27 B36 C54 D815.（2011 年丰台区期末理 11）某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 答案： 85，3.2
3、。 6.（2011 年海淀期末理 10）某部门计划对某路段进行限速，为调查限速 60 km/h 是否合理，对通过该路段的 300 辆汽车的车速进行检测，将所得数据按 40，50 ， ，)50,6)， 分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则这 300 辆汽车中车速低于限60,7),80速的汽车有O 40 45 50 55 60 体重(kg)频率组距m0.060.02辆. 答案：180。7 （2011 年石景山期末文 13）从某校随机抽取了 名学生，将他们的体重（单位：10）kg数据绘制成频率分布直方图（如图） ，由图中数据可知 = ，所抽取的学生中m体重在 的人数是 504k答案： ， .18
4、（2011 年海淀期末文 12）在一个边长为 1000 米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站 200 米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_.答案： 。259 （2011 年房山区期末文 18）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4 （I）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为 ，然后从袋中余下的三个球中a再随机抽取一个球，将其编号记为 求关于 的一元二次方程 有实根bx220xb的概率；（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n若
5、以 作为点 P 的坐标，求点 P 落在区域(,)内的概率05xy解：（I）设事件 为“方程 有实根” A220axb当 ， 时，方程 有实根的充要条件为 -2 分0ab ab基本事件共 12 个：（1,2） ， （1,3） ， （1,4） ， （2,1） ， （2,3） ， （2,4） ， （3,1） ， （3,2） ， （3,4） ，（4,1） ，（4,2） ，车 速O40567800.1.35a频 率组 距（4,3） ，其中第一个数表示 的取值，第二个数表示 的取值 -4 分ab事件 中包含 6 个基本事件：（2,1） ， （3,1） ， （3,2） ， （4,1） ， （4,2） ， （
6、4,3） ， A事件 发生的概率为 ； -6 分61()2PA（）先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点 P（m，n）的所有可能有：（1,1） ， （1,2） ， （1,3） ， （1,4） ， （2,1） ， （2,2） ， （2,3） ， （2,4） ， （3,1） ， （3,2） ，（3,3） ， （3,4） ， （4,1） ， （4,2） ， （4,3） ， （4,4） ，共 16 个， -8 分落在区域 内的有（1,1） ， （2,1） ， （2,2） ， （3,1）共 4 个， -11 分05xy所以点 P 落在区域 内的概率为 -13 分0xy1410 （2011
7、年昌平期末文 16）某校要从艺术节活动中所产生的 4 名书法比赛一等奖的同学和 2 名绘画比赛一等奖的同学中选出 2 名志愿者，参加广州亚运会的服务工作。求：（1）选出的 2 名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；（2）选出的 2 名志愿者中 1 名是获得书法比赛一等奖，另 1 名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.解：把 4 名获书法比赛一等奖的同学编号为 1，2，3，4 . 2 名获绘画比赛一等奖的同学编号为 5，6. 从 6 名同学中任选 2 名的所有可能结果如下：（1，2）, (1,3) , (1,4) , (1,5) ,(1,6), (2,3) ,(2,4),(2,5),(2,6
8、), (3,4), (3,5),(3,6) ,(4,5), (4,6), (5,6),共15 个. 3 分（1）从 6 名同学中任选 2 名，都是书法比赛一等奖的所有可能是（1，2） ， （1，3） ，（1，4） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4） ，共 6 个。所以选出的 2 名志愿者都是书法比赛一等奖的概率 8 分2156P(2) 从 6 名同学中任选 2 名，1 名是书法比赛一等奖，另 1 名是绘画比赛一等奖的所有可能是（1，5） ， （1，6） ， （2，5） ， （2，6） ， （3，5） ， （3，6） ， （4，5） ， （4，6）共 8 个。所以选出的 2 名志愿者
9、 1 名是书法比赛一等奖，另 1 名是绘画比赛一等奖的概率是.13 分82P11 （2011 年海淀期末文 16）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30人，结果围棋社被抽出 12 人.围棋社 戏剧社 书法社高中 45 30 a初中 15 10 20(I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从 3 名高中和 2 名初中成员中，随机选出 2 人参加书法展示，求这 2 人中初、高中学生都有的概率.解：（I）围棋社共有 60 人， .1 分由 可知三个社团一共有 150 人. .3 分150326（
10、II）设初中的两名同学为 ，高中的 3 名同学为 , .5 分2,a321b随机选出 2 人参加书法展示所有可能的结果:1121321,abb，共 10 个基本事件. .8 分2233 设事件 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有” ， .9 分A则事件 共有 6 个基本事件. 121321223,ababab.11 分. 5306)(P故参加书法展示的 2 人中初、高中学生都有的概率为 . .13 分3512 （2011 年房山区期末理 17）某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球 3 个，白球 4 个，黑球 5 个每次任取一个，有放回地抽取 3 次为一次摸奖至少有两个红球为一等奖，记2 分；
11、红、白、黑球各一个为二等奖，记 1 分；否则没有奖，记 0 分 （I）求一次摸奖中一等奖的概率；（II）求一次摸奖得分的分布列和期望解：（I）每次有放回地抽取，取到红球的概率为 ；取到白球的概率为124P；取到2413P黑球的概率为 ； -3 分3512P一次摸奖中一等奖的概率为 -5 分23315()()42C（II）设 表示一次摸奖的得分，则 可能的取值为 0，1，2 -6 分；5(2)3P； -8 分142A-10 分61(0)()()9P一次摸奖得分 的分布列为2 1 0P 53524619-11 分期望为 -13 分6210498E13 （2011 年西城期末理 17）一个袋中装有
12、个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 .（）若从袋中每次随机抽取 1 个球，有放回的抽取 2 次，求取出的两个1,2345,6球编号之和为 6 的概率；（）若从袋中每次随机抽取 个球，有放回的抽取 3 次，求恰有2次2抽到 号球的概率；（）若一次从袋中随机抽取 个球，记球的最大编号为 ，求随机3X变量 的分布列 .X解：（）设先后两次从袋中取出球的编号为 ，则两次取球的编号的一切可能结果,mn有 种， ),(nm632 分其中和为 的结果有 ，共 种，(1,5),(24),(3)5则所求概率为 . 4 分36（）每次从袋中随机抽取 个球,抽到编号为 的球的概率 .615263Cp6 分所以
13、， 次抽取中，恰有 次抽到 6 号球的概率为32. 8 分2231()()39Cp（）随机变量 所有可能的取值为 . 9 分X,45，36()20P，36(4)C，2436(5)01CPX. 12 分2536()所以，随机变量 的分布列为:X3456P12031213 分14 （2011 年西城期末文 17）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率MM的统计表和频率分布直方图如下： （）求出表中 及图中 的值；,Mpa（）若该校高三学生有 240 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；10
14、,5)（）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人，求至多一人参加社区服务次数在区间 内的概率.25,30)解：（）由分组 内的频数是 ，频率是 知， ，10,)10.2510.5M所以 . 2 分4M因为频数之和为 ，所以 ， . 3 分24m4. 4 分01mp因为 是对应分组 的频率与组距的商，所以 .6a5,) 20.145a分（）因为该校高三学生有 240 人，分组 内的频率是 ，10,5).所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 人. 8 分60（）这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 人，2m分组 频数 频率10,5
15、)10 0.25224 n,mp3)2 0.05合计 1频率/组距15 2520100 30 次数a设在区间 内的人为 ，在区间 内的人为 . 20,5)1234,a25,30)12,b则任选 人共有 121 4()(,),(,(),baa， 15 种情况， 10 分234(,),ab342,),b而两人都在 内只能是 一种， 12 分5012所以所求概率为 .（约为 ） 13 分1P0.9315.（2011 年丰台区期末理 17）某校组织“上海世博会”知识竞赛已知学生答对第一题的概率是 0.6，答对第二题的概率是 0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响 （I） 求一名学生至少答对第一、二两
16、题中一题的概率；（）记 为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求 的分布列及数学期望 E解：（I）设“学生答对第一题”为事件 ,“学生答对第二题”为事件 1 分AB所以“一名学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为 3 分()()()PABPBP 5 分0.45.60.560.8（） 的可能取值为 0，1，2，3，且 6 分(3,.)， ().8，123.96PC，2()0.34 10 分3.851所以， 的分布列为 0 1 2 3P0.008 0.096 0.384 0.51211 分 13 分30.824E16.（2011 年海淀期末理 16） 某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是
17、：每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区投篮 3 次.在 A 区每进一球得 2 分，不进球得 0 分；在 B区每进一球得 3 分，不进球得 0 分，得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别为 和 （）如果选手甲以在 A、B 区投篮得分的期望高者为选择91投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？（）求选手甲在 A 区投篮得分高于在 B区投篮得分的概率.解：（I）方法一设选手甲在 A 区投两次篮的进球数为 ，则 ， X)109,2(B故 ， . 2 分 59102)(XE则选手甲在 A 区投篮得分的期望为 . 63592. 3 分设选手甲在 B
18、区投篮的进球数为 ，则 ，Y)1,(B故 ， . 5 分13)(YE则选手甲在 B 区投篮得分的期望为 . . 6 分3，6.选手甲应该选择 A 区投篮. .7 分方法二：（I）设选手甲在 A 区投篮的得分为 ，则 的可能取值为 0，2，4， 2129(0)()0189(4)(.0PC； ；所以 的分布列为0 2 4p1810.2 分.3 分6.3E同理，设选手甲在 B 区投篮的得分为 ，则 的可能取值为 0，3，6，9，3123238(0)(;74)9(6)(;9.7PCP所以 的分布列为：0 3 6 9p82749217.5 分， .6 分3E，选手甲应该选择 A 区投篮. .7 分（）设
19、选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分为事件 ，甲在 A 区投篮得 2 分在 BC区投篮得 0 分为事件 ，甲在 A 区投篮得 4 分在 B 区投篮得 0 分为事件 ，甲在 A 区投1C篮得 4 分在 B 区投篮得 3 分为事件 ，则 ，其中 为互斥事件. 3123123,.9 分则： 1231238849()= ()(10271075PCPCP故选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为 .13 分49517.（2011 年石景山期末理 16）某地区举办科技创新大赛，有 50 件科技作品参赛，大赛组委会对这 50 件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均
20、按等级采用 5 分制，若设“创新性”得分为 ， “实用性”得分为 ，统计结果如下表：xy实用性作品数量 yx1 分 2 分 3 分 4 分 5 分1 分 1 3 1 0 12 分 1 0 7 5 13 分 2 1 0 9 34 分 1 b6 0 a创新性5 分 0 0 1 1 3（）求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率；（）若“实用性”得分的数学期望为 ，求 、 的值75a解：（）从表中可以看出， “创新性为 分且实用性为 分”的作品数量为 件，436“创新性为 分且实用性为 分”的概率为 4 分4360.12（）由表可知“实用性”得分 有 分、 分、 分、 分、 分五个等级，y12
21、45且每个等级分别有 件， 件， 件， 件， 件5 分54b58a“实用性”得分 的分布列为：y12345p504b15080a又“实用性”得分的数学期望为 ，67 10 分5 67123450作品数量共有 件， ab解得 ， 13 分ab18.（2011 年昌平期末理 16） 甲、乙二人用 4 张扑克牌（分别是红桃 2、红桃 3、红桃4、方块 4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。 （1）设 分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽),(ji到的牌的所有情况（2）若甲抽到红桃 3，则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少？（3）甲
22、、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜。你认为此游戏是否公平？请说明你的理由.解：（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况为（2，3） ， （2，4） ， （2， ） ， （3，2） ，4（3，4） ， （3， ） ， （4，2） ， （4，3） ， （4， ） ， （ ，2） ， （ ，3） ， （ ，4） ，共 12 种 不同情况4 分（2）甲抽到 3，乙抽到的牌只能是 2，4， .因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为. 8 分3（3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2） ， （4，2） ， （4，3） ， （ ，2） ， （ ，3） ，共 5 种 4甲获胜的概率 乙获胜的概率为,125P17P7此游戏不公平 .13 分
