1、春晖中学教学随笔1例谈 立体几何问题中的四种 转化策略高二数学 钟建新立体几何是高中数学的一个重要内容，也是数学学习中的难点之一。在这部分中蕴含着多种数学思想方法，因而立体几何问题的解决不仅需要具有良好的空间想像能力和过硬的计算技能，还需要灵活的数学思想，其中最重要的就是转化思想。本文例说解立体几何问题常用的几种转化策略。一、距离的转化线线、线面、面面关系贯穿于立体几何始终，距离问题便是依托于这三种关系及其转化的一种重要问题。例 1. （89 全国高考）如图，已知圆柱的底面半径是 3，高为 4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且 ，求直线 AB 与轴 之间的距离。AB5OC图 1分析：如
2、图 1，过 A 作 AC 垂直于底面，垂足为 C，连结 BC，则 平面 ABCO/显然两直线 与 AB 的距离，即可转化为直线 与平面 ABC 的距离，进而转化为O O 到平面 ABC 的距离，易得，所求距离 。d32说明：两条异面直线的距离，线面距离，点面距离。面面距离，既相互联系，又可相互转化。距离转化策略，正是解决此类问题的上策。二、割与补的转化割与补的转化是通过割与补，来改变几何体的状态，由复杂几何体变为简单几何体的数学方法。例 2. （87 全国高考）如图 2，三棱锥 中，已知 ，PABCPBACl，PA、BC 的公垂线段 ，求证三棱锥 的体积 。EDhVlh162春晖中学教学随笔2
3、BACDPE图 2分析一：如图 2，连结 AD、PD， ， 平面 APD，又 ，CEAP， CDEAP VVBSlhPABCPDAD13162分析二：如图 3，以三棱锥 的底面为底面，侧棱 PA 为侧棱，补成三棱柱 ，BC连结 EC、EB，则易证 AP平面 EBC，hlVhlSABCPEBC 22 613,1三 棱 柱三 棱 柱 图分析三：如图 4，将 补成平行四边形 ABCF，可利用 ，ABCVVPABCFCPAF易得： VlhP162EDF图 4说明：割补转化是解决立体几何问题常用的方法之一，对同一几何体既可进行合理分割，又可实施有效的添补。三、降维转化由三维空间向二维空间转化，是研究立体
4、几何问题最重要的数学方法之一。在解决实际春晖中学教学随笔3问题中，往往通过一定手段，将空间问题转化成平面问题，得以解决。例 3. 如图 5，设正三棱锥 SABC 的底面边长为 a，侧棱长为 2a，过 A 作与侧棱 SB、SC都相交的截面 AEF，求这个截面周长的最小值。 ABCEF图 5分析：沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面展开如图 6，求 周长最小值问题就转化成了求AEFA、A两点间的最短距离。 SC图设 ，则由余弦定理得 ，所以ASBcos78coscos3471283可求得 ，即所求截面周长的最小值为a141a说明：这类问题通常都是将几何体的侧面展开，空间问题转化成平面问题来解决。四、等积转
5、化等积转化，亦称等积变换。通常是指用不同的方式求同一几何体的体积（或同一平面图形的面积）例 4. （98 全国高考）已知斜三棱柱， 的侧面 与底面垂直，ABC1AC1且 ，（如图 7）ABCAC9023， ， 1，（III ）求 C 到侧面 的距离。B1图 7分析：连结 A1B、A 1C，过 A1 作 AC 的垂线 A1D，D 为垂足，由题意可知 A1D面ABC。根据定义，点 C 到面 A1AAB1 的距离，即为三棱锥 CA1AB 的高 h。春晖中学教学随笔4由 得：VCABABC锥 锥11311 1ShADABBC即： ， 即为所求。322h3总之，立体几何问题联系多多，变化多多，但只要能对其进行合理而有效的转化，便可使问题浮出水面，看得见，摸得着。
