1、 【标题 01】 混淆了数列 和数列 的“ ” na21,na-n【习题 01】 已知数列 满足 ， ，且 , 123(1)(1)0nna. nN（ 1）求 的值及数列 的通项公式； 3456,ana（ 2）设 ( )，求数列 的 前 项和 . 21nnbNnbnS【经典错解】 （ 1）由已知得 345611,8a当 为奇数时， ，所以数列的奇数项组成一个等差数列， 2na所以 21()()23122n nn-=+-=-=-当 为偶数时， ，所以数列的偶数项组成一个等比数列， 21nna所以 22112()()()()nnn a-=因此，数列 an的通项公式为 n-12nkNa（ ） * （
2、2）下略 . 【详细正解】 （ 1）由已知得 3456,.8aa当 为奇数时， ，所以数列的奇数项 组成一个等差数列 ， n2n 21n- 21na-令 2111()ab a- -=+-=-=所以 2()23nn n-当 为偶数时， ，所以数列的偶数项 组成一个等比数列 ， 2nna2na2na 111 22 2 nn nnnab-=因此，数列 的通项公式为 na()n2=1nkNa（ ） *-（ 2）因为 ，则 21nnb ， 3113()5()(2)(2)nnnS ， 234 11()()()(3)()nnn 两式错位相减得 24 112()2nnS 112()14()2n 13()n 1
3、3(2)nnS 【习题 01 针对训练】 定义：项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为 “对偶数列 ” （ 1）若项数为 项的“对偶数列” ，前 项为 ，求该数列的通项公式及 项的和； 20na41,3220（ 2）设项数为 （ ）的“对偶数列” 前 项为 ，试求该数列前 （ ，mNn, n1m）项的和 ； nNnS（ 3）求证：等差数列 为“对偶数列”当且仅当数列 为非零常数数列 a(0)nna 【标题 02】 放缩不等式求和时没有分类讨论 【习题 02】 设数列 的前 项和为 .已知 , , . nanS1a2123nSan*N(1) 求 的值； (2) 求数
4、列 的通项公式； (3) 证明 :对一切正整数 ,有 . 2n 1274naa【经典错解】 (1) 解： ， . 2123nSanN 当 时， 又 ， 1n122a1a24（ 2）解： ， . n 321 13n nnSaa当 时， 21nn由 ，得 121nnnSa 12na1a 数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列 . 1n1 2,n naa当 时，上式显然成立 . 1*,nN（ 3）证明：由（ 2）知， 2*,na221,1nn 221211134na 134352nn 1112 77424nn原不等式亦成立 . 综上，对一切正整数 ，有 . 1274naa【详细正解】 （ 1）同上；
5、（ 2）同上； （ 3）证明：由（ 2）知， 当 时， ， 原不等式成立 . 2*,naN1n74a当 时 , , 原不等式亦成立 . n1274当 时 , 321,1nnn 22121 1342naa n 11134352n 112 717424nn当 时 ,， 原不等式亦成立 . 综上，对一切正整数 ，有 .学科 .网 3 n1274naa 【习题 02 针对训练】 已知数列 满足 ， ，令 . （）求证： 是等比数列； （）记数列 的前 n项和为 ，求 ； （）求证： . 121236nnaa【标题 03】 对等比数列的判断方法没有理解透彻 【习题 03】 设数列 满足 ， 的前 项和为
6、 ，数列 满足n1n(N)且 nanSnb 2nba（ l）若 ，求 ;（ 2）试判断数列 是否为等比数列？请说明理由； 1a4Snb（ 3）若 ， ，且 试比较 与 的大小，并证明你的结论 ,mnpN2pmnS2p【经典错解】 （ 1） ，且 ， 1a(N)且 1a ， ， . 24a3246a4（ 2） ， nb1+n2=()2(2)n n nnb ab（ ）所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 . 1a（ 3） 事实上，由（ 2）知，当 时， ，则 2mnPS13a10bn 是以 为首项， 为公差的等差数列， a (5)2nS ，且 ， ,pNp 12(5)(52mnPSm） ）
7、2215()()4pmnpmn . 21()044nnmnPS【详细正解】 （ 1）同上； （ 2） ， 2nba1+1=(1)2(2)n n nnbaaab（ ）又 ，当 时， ，此时 不是等比数列， 1330b当 时， ，则 1a10b12()nN故当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 .（ 3）同上 13n13a2【深度剖析】 （ 1）经典错解错在对等比数列的判断方法没有理解透彻 .（ 2）要判断一个数列 是等比数na列，需要证明 和 ，但是错解只证明了 ，忽略了对(0,)naqnN*+=10a 1(0,)naqN*+=首项是否为零的讨论，所以是错的 .所以今后要判断一个数列是
8、等比数列，一般先求 的值，如果不是1na+同一常数，数列 不是等比数列，如果 ，然后求出它的首项，看它的首项是否na1(0,)naqnN*+=为零，如果首项不为零，就是一个等比数列，否则也不是 . 【习题 03 针对训练】 设数列 的前 项和为 ，且 . nanS23na()N（ 1）证明数列 为等比数列 ;（ 2）求 的前 项和 . 3nT 【标题 04】 逻辑不严谨忽略了等式的性质 【习题 04】 求和 . 1231xnx【经典错解】 令 ， 则 Sn2 xSxnxn n231 ()两式相减得 来源 :Z_xx_k.Com 1()nxx 21()nnS【详细正解】 若 ，则 ； 若 ， 则
9、. x0Sn1xSn()12 若 ，且 时 令 x23 则 xSxxnn231 () 两式相减得 21(1)n 21()nnxS 【习题 04 针对训练】 设 数列 满足 , 0,bna11=,(2)nnba（ 1）求数列 的通项公式；（ 2）证明：对于一切正整数 n, . na1n 【标题 05】 弄错了数列的首项 【习题 05】 已知数列 满足 ， . na12,a12,*naN（ 1）令 ，证明： 是等比数列；（ 2）求 的通项公式 . 1nbnbn【经典错解】 （ 1） .当 时， ， 21111 122nnn naab b 是首项为 ，公比为 的等比数列 . nb1a=（ 2）由（
10、1）可得 ， ， 下面的略 . 11()()2nnnb11()2nna【详细正解】 （ 1） 1a当 时， ， n11 122nnn nbab 是首项为 ，公比为 的等比数列 . n121a=-（ 2） 由（ 1）可得 ， ， ， ， ()nnb11()2nna021()a132()a， ， 2()na00 15()nn 当 时，也符合， 152()3nn 【习题 05 针对训练】 在数列 中， ， na112nna（ 1）设 证明：数列 是等差数列；（ 2）求数列 的前 项和 12nabbnanS 【标题 06】 等比数列求和弄错了数列的项数 【习题 06】 已知数列 的前 项和 ，数列 满
11、足 ， ，且na2nnSanb1b3718（ ） .（ 1）求数列 和 的通项公式；（ 2）若 ，求数列 的前12nnbn nacnc项和 . nT【经典错解】 （ 1）由题意知 ，当 时， ， - 得2nnSa211nnSa， 即 ，又 ， ， 故数列 是以 为首项 ，nnaSa1 na12为公比的等比数列 ， 所以 ，由 （ ）知，数列 是等差数列，设其公差2n1nnb b为 ，则 ，故 ， d9)(21735b 12)(2415 ndbdn，综上，数列 和 的通项公式分别为 . na1ann，（ 2） ， 来源 :学科网 12)(nnbc 12nT 1210 2)(53n nn)()2(
12、3 -得 ， n 1211 . 下面略 . 2()1()nnT-=+-【详细正解】 （ 1）同上 （ 2） ， 12)(nnabc 12nT 1210 2)(53n nn)()2(3 - 得 ， , nnnT21111()2(2)nnT-=+即 ， 3)(2)()2( nnn 3)(nn【深度剖析】 （ 1）经典错解错在等比数列求和时弄错了数列的项数 .（ 2）经典错解没有认真观察，凭经验得到数列 有 项，实际上这个数列有 项，所以在观察数列有多少项时，一定既要观21n -+1察首项，也要观察末项，要瞻前顾后，这才是科学的严谨的 .（ 3） 数列的首项、项数、末项等是很容易错的基本量，所以在解
13、答数列题时，在这些地方要谨慎细心 . 【习题 06 针对训练】 已知数列 的前 项和 与通项 满足 . nanSna12nnSa（ 1）求数列 的通项公式； na（ 2）设 ，求 ； 31212()log,().(),.n nnfxbfaffaTb2014T（ 3）若 ，求 的前 项和 . )ncafcU 【标题 07】 不一定能说明 是使得 成立的最大自然数 406S4060nS【习题 07】 若数列 是等差数列，首项 ， ， ，则使前 项和na1a2304a2034an成立的最大自然数 是（ ） n A 405B 406C 7D 08【经典错解】 ， ， ， 1a23a2034a首项大于零
14、的递减的等差数列， ,故选 . 461062034()()Sa=+=+B【详细正解】 ， ， ， 102302034首项大于零的递减的等差数列， , 23,a，故选 . 40714070424()72Sa=+= B 【习题 07 针对训练】 设 是等差数列， ， ， ，则使 成立na10a2708a2078a0nS的最大自然数 是（ ） A 4013B 40 C 415D 416【标题 08】 代换时忽略了 的范围导致结果出现错误 n【习题 08】 已知在等比数列 中， ，且 是 和 的等差中项 a12a13（ 1）求数列 的通项公式； na（ 2）若数列 满足 （ ） ，求 的通项公式 nb
15、123nba Nnbnb【经典错解】 （ 1）设等比数列 的公比为 ，由 是 和 的等差中项得： naq213， ， ， ， ， 23a211q0q212na（ 2）由 123nbb 1()a得： ，所以 21nnnba2nb2nb【详细正解】 （ 1）设等比数列 的公比为 ，由 是 和 的等差中项得： nq2a13， ， ， ， ， 23a2112aq0q212na（ 2） 时，由 ，得 n3nbb 1时，由 12a 1231()nb得： 2nna，所以 2nb2nb21nb 【习题 08 针对训练】 已知数列 na满足： ，令 1nab， S为)(11*232 Nnaa数列 nb的前 项和
16、 . （ 1）求 和 nS；（ 2）对任意的正整数 n，不等式 21nS恒成立，求实数 的取值范围 a 【标题 09】 累加法求数列通项时弄错了数列的项数 【习题 09】 在数列 中，已知 ， ，求数列 的通项公式 . na112nana【经典错解】 由题得 2324315,7,9,2n所以 ，所以 . 21579()na31n【详细正解】 由题得 2132431,naaa所以 ， . 21 1(5)n n 2na 【习题 09 针对训练】 在数列 中，已知 ， ，求数列 的通项公式 . na112nnana 【标题 10】 对数列的极限理解不够透彻 【习题 10】 设数列 的前 n 项和为
17、，且 anS2naS（ 1）求数列 的通项公 式；（ 2）若 ， 为数列 的前 n 项和，求 ； n bTbnT（ 3）是否存在实数 m 使得 对一切 恒成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存4nmTN在，说明理由 【经典错解】 （ 1）由 ，令 n=1，则 a1=22S1，又 S1=a1，所以 a1= 2nnaS当 n 2 时，由 ，可得 anan1=2（ SnSn1） =2an，即 nn 13n所以 是以 a1= 为首项， 为公比的等比数列，于是 ； n3 2na（ 2） ， ， 来源 :Zxxk.Com nb 23nT 31nT两式相减可得 ， 2311()13 3nnn 3214n
18、nT（ 3） ， 单调递增， Tn T1=c1= 1103nnTbnT3 ， Tn 244134使得 对一切 恒成立，则 3 m . nmTN21410【详细正解】 （ 1） （ 2）同上 . （ 3） （ 3） ， 单调递增， Tn T1=c1= 103nnTbnT3 ， Tn 4434使得 对一切 恒成立，则 3 m . 2nmTN21410 【习题 10 针对训练】 在数列 中， 是数列 前 项和， ，当 nanSna1a21,()nnSa （ 1）证明 为等差数列；（ 2）设 求数列 的前 项和 ； nS1nbnbnT（ 3）是否存在自然数 ，使得对任意自然数 ，都有 成立？若存在，求
19、出 的最小mN1(8)4nmm值；若不存在，请说明理由 . 高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第 22 讲：数列综合参考答案 【习题 01 针对训练答案】 （ 1） ， ； ,20)2nnanN是 正 奇 数 （ ） 是 正 偶 数 91()（ 2）见解析；（ 3）证明略 . 【习题 02 针对训练答案】 （ ）详见解析 ; （ ） ;（ ）详见解析 . 【习题 02 针对训练解析】 （ ） ， 两式相减，得 经检验，当 时上式也成立，即 . 有 即 ，且 又 当 时，左边 = 1n126当 时，有 故 . 121236nnaa【习题 03 针对训练答案】 （ 1）见 解析；（ 2） . 2
20、3151()nnTn 【习题 04 针对训练答案】 （ 1） ； （ 2）证明见下面解析 . 22()0,)nba=-【习题 04 针对训 练解析】 (1)由 可得 12nn1,nnab当 时 , 则数列 是以 为首项 为公差的等差数列 , 2b1,2nana12,2na从而 .当 时 2b1(),2nnabab,则数列 是以 为首项 . 为公比的 等比数列 . 1n1()2b 2()(),2nnnn aabb 综上 , .(2)0,)nb（ 2）当 b=2 时， 从而原不等式成立 . 11,2,nnbaa+,当 时，要证 b1nb,11()(2), ,nnnnb即 证即证 123221,nn
21、nnbbb +即证 211223,2nnn b 而上式左边 121 32)()()()nnbb=( 1221322 1nn bnbbb所以当 时，原不等式也成立，从而原不等式成立 . -得 . 12221110 nnnnS【习题 06 针对训练答案】 （ 1） ；（ 2） ；（ 3） . ()3na01485T 131()()42nnnU【习题 06 针对训练解析】 （ 1）在 中，令 ，可得 nnS112aSa当 时， ， 2n1()223nn naSa数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 3 ()（ 2）由（ 1）及 ， ， 3()logfx33()loglnnfx ，故 ， 12 (
22、1)().)122n nbfaffa12()nb又 ， 12.()()3nn nTbn 201485T（ 3）由（ 2）及 ， ， ()nncaf 1()3nnc ， 121()3nnU 可得： ， 3 2 1()()n -： ， 1 12()()23nnnn ， 13()()42nnnU【习题 07 针对训练答案】 B ，即 ，综上， ， ； 来源 :Z,xx,k.Com 12na12na12na*N，则 )()(bn )12(nSn（ 2）由 得 ， 21nS21nS所以 ，因为 是单调递增数列，所以当 时 取得最小值为 ，因此 min)(nS3165【习题 09 针对训练答案】 13na【习题 09 针对训练解析】由题得 23421341,2,2nnaaa所以 . 234 111 (),3nn nna【习题 10 针对训练答案】 （ 1）利用等差数列定义证明即可；（ 2 ）；(3) 1nT0m 来源 :Zxxk.Com
