1、1高考达标检测（四十二） 几何概型命题 3角度长度（角度） 、面积、体积一、选择题1.如图所示， A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点 A，连接AA，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A. B.12 32C. D.13 14解析：选 C 当 AA的长度等于半径长度时， AOA ， A点在 A点左右都可取3得，故由几何概型的概率计算公式得 P .232 132随机地向半圆 0y (a为正常数)内掷一点，若点落在圆内任何区域的概率2ax x2与区域的面积成正比， 则原点与该点的连线与 x轴的夹角小于 的概率为( )4A. B. 12 1 12 1C. D.12 1解析：选
2、A 由题意可知半圆 0y 是以( a,0)为圆心、以 a为半径的 x轴上方2ax x2的半圆，要使原点与半圆内一点的连线与 x轴的夹角小于 ，则该点应该落在直线 y x与 4x轴之间的区域，所以所求事件的概率为 P .14 a2 12a212 a2 12 13.“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理” ，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在6向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率为( )A1
3、 B.32 32C. D.4 34 342解析：选 A 由题知，直角三角形中较短的直角边长为 1，较长的直角边长为 ，3所以中间小正方形的边长为 1，其面积为( 1) 242 ，3 3 3则飞镖落在小正方形内的概率为 1 .4 234 324已知圆 C： x2 y22 x10，直线 3x4 y120，圆 C上任意一点 P到直线的距离小于 2的概率为( )A. B.16 13C. D.12 14解析：选 D 因为圆 C：( x1) 2 y22，圆心 C(1,0)，半径r ，所以圆心 C到直线 3x4 y120 的距离 d 3.若21532 4 2圆心 C到直线 3x4 y m0 的距离 d 1，
4、则 m2 或|3 m|32 4 2m8(舍去)，此时直线 AB的方程为 3x4 y20，如图所示，在 ABC中，CD1， CB ，则 ABC为等腰直角三角形，即 ACB ，故所求概率 P .22 22 145已知直线 y3 x与两坐标轴所围成的区域为 1，不等式组Error!所围成的区域为 2，现在区域 1中随机放置一点，则该点落在区域 2的概率是( )A. B.14 13C. D.12 23解析：选 B 在平面直角坐标系中，作出区域 1，如图中 OAB所示，其面积为33 .作出区域 2，如图中 OBC所示，联立Error!得 C(1,2)，所以区域 2的面积12 92为 31 ，故所求概率
5、P .12 323292 1336已知函数 f(x)sin x cos x，当 x0，时， f(x)1 的概率为( )3A. B.13 14C. D.15 12解析：选 D f(x)sin x cos x2sin ，3 (x3) x0， x ，3 3， 43由 f(x) 1，得 sin ，(x3) 12 x ，0 x ，3 3 56 2所求的概率为 P .2 127已知 ABC内一点 O满足 2 3 0，若在 ABC内任意投一个点，则OA OB OC 该点在 OAC内的概率为( )A. B.16 14C. D.13 12解析：选 C 如图，以 ， 为邻边作平行四边形 OBDC，OB OC 则
6、，又 2 3 0，OB OC OD OA OB OC 则 3 .作 AB靠近 B点的三等分点 E，OD AB 则 ，则 O到 AC的距离是 E到 AC距离的一半，OC BD EO 所以 B到 AC的距离是 O到 AC的距离的 3倍，所以 S AOC S ABC，13故在 ABC内任意投一个点，则该点在 OAC内的概率为 . 138在2,2上随机地取两个实数 a， b，则事件“直线 x y1 与圆( x a)2( y b)22 有交点”发生的概率为( )4A. B.14 916C. D.34 1116解析：选 D 根据题意，得Error!又直线 x y1 与圆( x a)2( y b)22 有交
7、点，即 ，得2 a b12，|a b 1|2 2所以1 a b3，作出平面区域如图所示，则事件“直线 x y1 与圆( x a)2( y b)22 有交点”发生的概率为P .S阴 影S正 方 形 42 1232 121242 1116二、填空题9已知线段 AC16 cm，先截取 AB4 cm作为长方体的高，再将线段 BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过 128 cm3的概率为_解析：依题意，设长方体的长为 x cm，则相应的宽为(12 x)cm，由 4x(12 x)128，得 x212 x320，解得 4 x8，因此所求的概率为 .8 412 13答案：1310在区间3,5上
8、随机取一个数 a，则使函数 f(x) x22 ax4 无零点的概率为_解析：若使函数 f(x) x22 ax4 无零点，则 4 a2160，解得2 a2，则使函数 f(x) x22 ax4 无零点的概率 P .2 25 3 12答案：1211不等式组Error!表示平面区域为 ，在区域 内任取一点 P(x， y)，则点的坐标满足不等式 x2 y22 的概率为_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中 OAB所示，面积为 4，在 OAB内满足 x2 y22 所表示的平面区域为四分之一圆，5面积为 ，所以所求事件的概率 P .2 24 8答案：812.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形 A
9、BCD，矩形的一边 BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为_解析：设 AD x， AB y，则由三角形相似可得 ，解得xa a yay a x，所以矩形的面积 S xy x(a x) 2 ，当且仅当 x a x，(x a x2 ) a24即 x 时， S取得最大值 ，所以该点取自矩形内的最大概率为 .a2 a24a2412aa 12答案：12三、解答题13某班早晨 7：30 开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上 7：10 至 7：30 之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域；(2)求
10、小陈比小李至少晚 5分钟到班的概率解：(1)用 x， y分别表示小陈、小李到班的时间，则 x10,30， y10,30，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域 ABCD，如图所示(2)小陈比小李至少晚到 5分钟，即 x y5，对应区域为 BEF，故所求概率 P .S BEFS正 方 形 ABCD 1215152020 93214已知向量 a(2,1)， b( x， y)(1)若 x， y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 ab1 的概率；(2)若 x， y在连续区间1,6上取值，求满足 ab0的概率解
11、：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 6636(个)6由 ab1，得2 x y1，即 y2 x1，所以满足 ab1 的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共 3个故满足 ab1 的概率为 .336 112(2)若 x， y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为 ( x， y)|1 x6,1 y6，满足 ab0的基本事件的结果为A( x， y)|1 x6，1 y6 且2 x y0画出图形如图，矩形的面积为 S 矩形 25，阴影部分的面积为 S 阴影 25 2421，故满足12ab0的概率为 .21251有一长、宽分别为 50 m,30 m的游泳
12、池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 m，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是( )2A. B.34 38C. D.316 12 332解析：选 B 如图所示，当工作人员走到 AB或 CD两个线段中时能及时听到呼唤，其中 OA15 ，作 OE AB，垂足为 E，则2OE15， AB2 30，所有可能的结果为游泳池的周 152 2 152长 160，故所求概率 P .230160 382若不等式组Error!表示的区域为 ，不等式 2 y2 表示的区域为 M，向区(x12) 14域 均匀随
13、机撒 360粒芝麻，则落在区域 M中的芝麻约为( )A114 粒 B10 粒C150 粒 D50 粒解析：选 A 作出不等式组所表示的平面区域 为图中 ABC所示易得 A ， B ， C(0,1)，(32， 12) ABC的面积为 ，12 (32 32) (1 12) 947区域 M的面积为圆 2 y2 的面积，(x12) 14即 2 ，(12) 4其中区域 和 M不相交的部分面积即空白面积为 ，(12 14 12112) 12 216区域 和 M相交的部分面积为 ，4 216 3 216落入区域 M的概率为 ，3 21694 3 236落入区域 M的芝麻数约为 360 114.3 2363任取 k1,1，直线 y k(x2)与圆 x2 y24 相交于 M， N两点， 则| MN|2的概率是_3解析：因为圆心到直线的距离 d ，|2k|k2 1所以| MN|2 2 .r2 d24 4k21 k2 41 k2由| MN|2 ，得 2 ，即 k2 ，341 k2 3 13所以 k ，33 33所以| MN|2 的概率3P .33 ( 33)1 1 33答案： 33
