1、1高考达标检测（十三） 极值、最值两考点，利用导数巧推演一、选择题1函数 f(x)( x21) 22 的极值点是( )A x1 B x1C x1 或1 或 0 D x0解析：选 C f(x) x42 x23，由 f( x)4 x34 x4 x(x1)( x1)0，得 x0 或 x1 或 x1，又当 x0，当 01 时， f( x)0， x0,1，1 都是 f(x)的极值点2已知函数 f(x) x3 ax2 bx a27 a 在 x1 处取得极大值 10，则 的值为( )abA B223C2 或 D2 或23 23解析：选 A 由题意知， f( x)3 x22 ax b， f(1)0， f(1)
2、10，即Error! 解得Error!或Error!经检验Error! 满足题意，故 .ab 233(2018浙江瑞安中学月考)已知函数 f(x) x3 bx2 cx 的图象如图所示，则 x x 等于( )21 2A. B.23 43C. D.83 163解析：选 C 由图象可知 f(x)过点(1,0)与(2,0)， x1， x2是函数 f(x)的极值点，因此 1 b c0,84 b2 c0，解得 b3， c2，所以 f(x) x33 x22 x，所以 f( x)3 x26 x2.x1， x2是方程 f( x)3 x26 x20 的两根，因此 x1 x22， x1x2 ，所以 x x ( x1
3、 x2)22 x1x24 .23 21 2 43 834已知函数 f(x) x3 ax2 bx c， x2,2表示的曲线过原点，且在 x1 处的切线斜率均为1，有以下命题： f(x)的解析式为： f(x) x34 x， x2,2；2 f(x)的极值点有且仅有一个； f(x)的最大值与最小值之和等于零其中正确的命题个数为( )A0 B1C2 D3解析：选 C f( x)3 x22 ax b，因为函数 f(x) x3 ax2 bx c， x2,2表示的曲线过原点，且在 x1 处的切线斜率均为1，所以Error! 解得Error!则 f(x) x34 x， x2,2，故正确；f( x)3 x24，令
4、 f( x)0，解得 x 2,2，233易知， x 均为函数的极值点，故错误；233易知函数 f(x) x34 x， x2,2是奇函数，所以最大值与最小值之和为 0，故正确因此，正确命题的个数为 2，故选 C.5(2017长沙二模)已知函数 f(x) (a0)在1，)上的最大值为 ，则xx2 a 33a 的值为( )A. 1 B.334C. D. 143 3解析：选 A 由 f(x) ，得 f( x) ，xx2 a a x2 x2 a 2当 a1 时，若 x ，则 f( x)0， f(x)单调递减，a若 1 x ，则 f( x)0， f(x)单调递增，a故当 x 时，函数 f(x)有最大值 ，
5、得 a 1，不合题意；a12a 33 34当 a1 时，函数 f(x)在1，)上单调递减，最大值为 f(1) ，不合题意；12当 0 a1 时，函数 f(x)在 1，)上单调递减，此时最大值为 f(1) ，1a 1 33得 a 1，符合题意故 a 的值为 1，选 A.3 36已知直线 l1： y x a 分别与直线 l2： y2( x1)及曲线 C： y xln x 交于A， B 两点，则 A， B 两点间距离的最小值为( )3A. B3355C. D3655 2解析：选 D 由Error!得 A(a2,2 a2)，由Error! 得 B(ea， ae a)，|AB| (ea a2)， ea
6、a 2 2 ea a 2a 2 2 2令 g(a)e a a2，则 g( a)e a1， g(a)在(，0)上递减，在(0，)上递增，所以 g(a)在 a0 处取得最小值 g(0)3，所以 A， B 两点间距离的最小值为 3 .2二、填空题7若函数 f(x)2 x2ln x 在其定义域的一个子区间( k1， k1)内存在最小值，则实数 k 的取值范围是_解析：因为 f(x)的定义域为(0，)，又 f( x)4 x ，由 f( x)0，得 x .1x 12据题意Error! 解得 1 k0)x2ex 2xexx4 ( 2x2 1x) x 2 (exx k)x2设 g(x) (x0)，则 g( x
7、) ，exx x 1 exx2 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增 g(x)在(0，)上有最小值，为 g(1)e，结合 g(x) 与 y k 的图象可知，要满足题意，只需 ke.exx答案：(，e9(2018湘中名校联考)已知函数 g(x) a x2 xe，e 为自然对数的底数与 h(x)1e4 n x 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意，知方程 x2 a2ln x，即 a2ln x x2在 上有解1e， e设 f(x)2ln x x2，则 f( x) 2 x .2x 2 x 1 x 1x易知 x 时， f( x)0， x1，e时 f(
8、x)0 时， f(x)在1，e上单调递增，则 f(x)在1，e上的最大值为 f(e) a.故当 a2 时， f(x)在1，e上的最大值为 a；当 a0.12(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)讨论函数 f(x)的零点个数解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，因为 f( x) x( a1) (x0)，ax x2 a 1 x ax x a x 1x当 00，得 01，所以函数 f(x)的单调增区间为(0， a)和(1，)，单调减区间为( a,1)当 a1 时， f( x) 0 恒成立， x 1 2x所以函数 f(x)的单调增区间为(0，)，无减区间当 a1 时，令 f( x)0，得 0a
9、，所以函数 f(x)的单调增区间为 (0,1)和( a，)，单调减区间为(1， a)(2)由(1)可知，当 00，所以函数 f(x)有唯一零点当 a1 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增，又注意到 f(1) 0，所以函数 f(x)有唯一零点32当 a1 时，函数 f(x)的单调增区间为(0,1)和( a，)，单调减区间为(1， a)，所以 f(x)极大值 f(1) a0，所以函数 f(x)有唯一零点，综上，函数 f(x)有唯一零点12已知函数 f(x)ln x x2 ax(aR)(1)当 a3 时，求函数 f(x)的单调区间；6(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1， x2，且 x1(0
10、,1，证明 f(x1) f(x2) ln 2.34解： f( x) 2 x a (x0)1x 2x2 ax 1x(1)当 a3 时， f( x) .2x2 3x 1x令 f( x)0，得 x 或 x1.12所以当 01 时， f( x)0；当 0 时， c，不符合题意； a a243 a2当 a0，只需Error!解得Error! 即 m3.所以实数 m 的取值范围为(3，)(2)f( x) ，x2 1 m x 1x令 f( x)0，即 x2(1 m)x10，8由题知，两根分别为 x1， x2，则Error!又因为 f(x1) f(x2) x (1 m)x1ln x1 x (1 m)x2ln
11、x21221 122 (x x )(1 m)(x1 x2)ln (x x )( x x )ln 12 21 2 x1x2 12 21 2 21 2 x1x2ln (x x )ln ln .x1x2 12 21 2 x1x2 12(x21 x2x1x2) x1x2 12(x1x2 x2x1)令 t，由于 x1x2，所以 0t1.x1x2又因为 m ，( x1 x2)2( m1) 2 ，72 254即 2 ，即 t2 ， x1 x2 2x1x2 x1x2 x2x1 1t 254所以 4t217 t40，解得 t4 或 t ，即 0t .14 14令 h(t)ln t ，12(t 1t)(0t 14)则 h( t) 0，1t 12 12t2 2t t2 12t2 t 1 22t2所以 h(t)在 上单调递减，(0，14h(t)min h ln 2ln 2 .(14) 14 12(14 4) 158所以 f(x1) f(x2)的最小值为2ln 2 .158
