1、1天水一中 2015 级高三第四次模拟考试试题文科数学第卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1 （ ）A B C D2已知集合 , ,则 =（ ）A B C D3 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，则芒种日影长为（ ）A1.5 尺 B2.5 尺 C3.5 尺 D4.5 尺4如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几
2、何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ）A. B. C. D.5曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 6某工厂为了确定工效，进行了 5 次试验，收集数据如下：加工零件个数 （个） 10 20 40 50加工时间 (分钟) 64 69 82 90经检验，这组样本数据的两个变量 与 具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数 与加工时间 这两个变量，下列判断正确的是（ ）A. 负相关，其回归直线经过点 B. 正相关，其回归直线经过点C.负相关，其回归直线经过点 D. 正相关，其回归直线经过点7阅读如图的程序框图，若输入 , 输出 的值为 ，则判断框中的条件应该
3、为（ ）A B C D8若 满足约束条件 且 有最小值，则 的取值范围为（ ）A B C D9如图是函数 的部分图象，为了得到函数的图象，可将函数 的图象右平移 （ ）A 个单位长度 B 个单位长度 C 个单位长度 D 个单位长度10在 中，角 ， ，且 边上的高恰为 边长的 ，则边的长为 A B C D11已知四面体 P ABC 中， PA4， AC2， PB BC2， PA平面 PBC，则四面体 P ABC的外接球半径为( )A2 B2 C4 D412已知函数 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则的值为 （ ）A B C D第卷2、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
4、13已知平面向量 ，且 ，则 在向量 上的投影等于_ 14.若 ,则 的值为 . 15已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，焦距为 ，直线 与双曲线的一个交点 满足 PF2F12 PF1F2，则双曲线的离心率 e 为_16已知 是两条不重合的直线 是三个两两不重合的平面给出下列四个命题:(1)若 ； (2)若 ；(3)若 ； (4)若 .其中不正确的命题是_(填上所有正确命题的序号) 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）数列 中， ，且满足 .(1)求数列的通项公式；(2)设 ，求 .18某工厂生产不同规格的一种产品，根
5、据检测标准，其合格产品的质量 与尺寸之间满足关系式 （ 为大于 0 的常数） ，现随机抽取 6 件合格产品，测得数据如下：尺寸 38 48 58 68 78 88质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5（1）求 关于 的回归方程；（提示： 与 有线性相关关系）（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等品，现从抽取的6 件合格产品再任选 3 件，求恰好取得两件优等品的概率.参考数据及公式：， ， ，对于样本 （ ） ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，19.（本小题满分 12 分）如图所示，在三棱锥 中， 平面 ， ， 、 分别为线段、
6、上的点，且 ， .（）求证： 平面 ；（）求点 到平面 的距离20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的右焦点为 ,点 为椭圆 上的动点，若的最大值和最小值分别为 和 .(I)求椭圆 的方程；()设不过原点的直线 与椭圆 交于 两点,若直线 的斜率依次成等比数列,求 面积的最大值.21.（本小题满分 12 分）已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若 有两个极值点 ，且 ，证明： .请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 （ 为参数）
7、,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 (1)求直线 l 的极坐标方程； (2)若射线 与直线 l 交于点 P,与曲线 C 交于点 Q(Q 与原点 O 不重合),求的值 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（）解不等式 ；（）若 对 恒成立，求实数 的取值范围.一、 选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案B C B C A D B D D A A A2、填空题13 14. 15 1 16 （2） （3） （4）三、解答题17 （1） ；（2）18 （1） （2）【解析】分析：（1）对 两边取自然对数得 ，令
8、 ， ，结合线性回归方程的计算公式可得回归方程为 .（2）由题意可得优等品有 3 件.由题意可知从 6 件合格品中选出 3 件的方法数共 20 种；其中恰 好有 2 件为优等品的取法共 9 种；则恰好取得两件优等品的概率为 .详解：（1）对 两边取自然对数得 ，令 ， ，得： ， ， ，解得： ，所以 ，回归方程为 .（2）令 ，解得： ， ，即优等品有 3 件.设“恰好取得两件优等品”记为事件 ，记优等品为 ，其余产品为 1，2，3，则从 6 件合格品中选出 3 件的方法数为： , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 20 种；其中恰 好有 2 件为优等品的取
9、法有：， ， ， ， ， ， ， ， ，共 9 种；所以，恰好取得两件优等品的概率为 .19(1)见解析；（2）点 到平面 的距离为 .【解析】试题分析：（1） 所以 平面 ；（2）利用等体积法， ，所以点 到平面 的距离为 .试题解析：()证明：由 平面 ， 平面 ，故由 ，得 为等腰直角三角形，故又 ，故 平面 () 由()知， 为等腰直角三角形， 过 作 垂直 于 ，易知 ，又 平面 ，所以 ， ，设点 到平面 的距离为 ，即为三棱锥 的高，由 得 ，即 ，即 ，所以 ，所以点 到平面 的距离为 .20、(1) .(2)1.详解：（I）由已知得：椭圆方程为 （II）设 （易知 存在斜率，且 ） ，设由条件知：联立(1)(2)得： 点 到直线 的距离且 所以当 时： . 21.试题解析：（1） ， 所以（1）当 时， ，所以 在 上单调递增（2）当 时，令 ，当 即 时， 恒成立，即 恒成立所以 在 上单调递增当 ，即 时， ，两根所以 ， ， , ， 故当 时， 在 上单调递增当 时， 在 和 上单调递增在 上单调递减.（2），由（1）知 时， 上单调递增，此时 无极值当 时， 由 得，设两根 ，则 ， 其中在 上递增，在 上递减，在 上递增令，所以 在 上单调递减，且，故 .22 （1） (2) 23 （1） ， （2）
