1、- 1 -兰州一中 2017-2018-2 学期高二年级期中考试试题数 学（理科）说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间120 分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数 yfx在 0处可导，且 003lim1xfxf，则 0fx等于（ ）A. 1 B. 1 C. 1 D.2.设 i是虚数单位，复数 ai为纯虚数，则实数 a的值为（ ）A. B. C. 2 D. 23.已知函数 fx的导函数为
2、fx，且满足 31lnfxfx，则 1f（ ） A. 12 B. 12 C. D. e4.已知 R上可导函数 fx的图象如图所示，则不等式 230xf的解集为（ ）A. ,1, B. ,21,C. 3, D. 02,5.某次志愿活动，需要从 6 名同学中选出 4 人负责 A、B、C、D 四项工作（每人负责一项） ，若甲、乙均不能负责 D 项工作，则不同的选择方案有（ ）A.96 种 B.144 种 C.240 种 D.300 种6.用数学归纳法证明42213n，则当 1nk时，左端应在 nk的基础上加上（ ）A. 21k B.21k C.421kD.2221kk- 2 -7. 在平面上，我们如
3、果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有： 设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时 从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用 321,s表示三个侧面面积， 4s表示截面面积，那么你类比得到的结论是（ ）A. 3214SS B. 23214SS C. 3 D. 428.已知 (),fxg都是定义在 R上的函数， ()0gx， ()()fgxf，且a0,且 1)a， 15f若数列 n的前 项和大于 62，则n的最小值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.99.函数 2()(0,)fxab在点 (1,)f处的切线斜率为 2，则 8a
4、b的最小值是（ ）A.10 B.9 C.8 D.310.设函数 32()lnfxemx，记 ()fxg，若函数 ()gx至少存在一个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A. 21(,e B. 21(0,e C. 21(,)e D. 21(,e11.定义在 R 上的函数 fx满足: ,0ffxfxf是 的导函数，则不等式 1xxef（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A. ,0, B.,C.,1,D.1,12.定义在 R 上的可导函数 ，当 x(0,1)时取得极大值，当22cab321()fxaxbc- 3 -16 题图x(1, 2)时，取得极小值，若(1 t)a+b+t30 恒成立，
5、则实数 t 的取值范围为（ ）A. B. C.(2，+） D. 2，+）第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高观众 ABC、 、 做了一项预测：A说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙” B说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙” C说：“我认为冠军不会是丙，而是甲” 比赛结果出来后，发现 ABC、 、 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是_14.计算 =_ 15.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂
6、色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为_ 16.如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第 n个几何体的表面积是_个平方单位.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分）（1）用分析法证明： 2130；（2）用反证法证明：三个数 2,a中，至少有一个大于或等于 16.18.（本小题满分 12 分）已知关于 x的方程 2690ix
7、iR有实数根 b.（1）求实数 ,ab的值;（2）若复数 z满足 2iz.求 z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.224xd5(,)5,- 4 -19.（本小题满分 12 分）设 1()23fnn ，是否存在 ()gn使等式：(-)1ff对任意 2,nN都成立，并证明你的结论20.（本小题满分 12 分）已知函数 2lnfxax，其中 aR.（1）当 时，求曲线 yf的点 1,f处的切线方程；（2）当 0时，若 fx在区间 e上的最小值为2，求 a的取值范围.21.（本小题满分 12 分）已知二次函数 ),10,(3:2:,3)(12 tttxylxlxf 且为 常 数其 中和
8、直 线直线 l2与函数 的图象以及直线 l1、 l2与函数 )f的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示，设这两个阴影区域的面积之和为 .(tS（1）求函数 )(tS的解析式； （2）定义函数 )()4(,1., RR xhymAxh可 作 曲 线若 过 点 的三条切线，求实数 m 的取值范围.22.（本小题满分 12 分）设函数 2()ln(1)fxbx.（1）若对定义域内的任意 ，都有 ()1fx成立，求实数 b的值；（2）若函数 ()fx在其定义域上是单调函数，求实数 的取值范围；（3）若 1b，证明对任意的正整数 n， 3311()2kf n .- 5 -兰州一中 2017-2018-2
9、学期高二年级期中考试试题数 学(理科)说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间120 分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数 yfx在 0处可导，且 003lim1xfxf，则 0fx等于（C ）A. 1 B. 1 C. 13 D .32.设 i是虚数单位，复数 ai为纯虚数，则实数 a的值为（ A ）A. B. C. 2 D. 23.已知函数 fx的导函数为 fx，且满足 31lnfxfx，
10、则 1f（A ） A. 12 B. 12 C. 1 D. e4.已知 R上可导函数 fx的图象如图所示，则不等式230xf的解集为（C ）A. ,1, B. ,21,C. 3, D. 02, 5.某次志愿活动，需要从 6 名同学中选出 4 人负责 A、B、C、D 四项工作（每人负责一项） ，若甲、乙均不能负责 D 项工作，则不同的选择方案有（ C ）A.96 种 B.144 种 C.240 种 D.300 种6.用数学归纳法证明42213n，则当 1nk时，左端应在 nk的基础上加上（ D ）A. 21k B.2k C.421kD.22211kk- 6 -7.在平面上，我们如果用一条直线去截正
11、方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有： 设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时 从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用 321,s表示三个侧面面积， 4s表示截面面积，那么你类比得到的结论是（ B ）A. 3214SS B. 23214SSC. 3 D. 428.已知 (),fxg都是定义在 R上的函数, ()0gx, ()()fgxf，且 ()xfag0a,且 1， ()152f若数列 n的前 项和大于 62，则 n的最小值为（ A ）A.6 B.7 C.8 D.99.函数 2()(0,)fxab在点 (1,)f处的切线斜率为 2，则
12、 8ab的最小值是（ B ）A.10 B.9 C.8 D.310.设函数 32()lnfxemx，记 ()fxg，若函数 ()gx至少存在一个零点，则实数 m 的取值范围是（ A ）A. 21(,e B. 21(0,e C. 21(,)e D. 21(,e11.定义在 R 上的函数 fx满足: 0ffxfxf是 的导函数，则不等式 1xxef（其中 e 为自然对数的底数）的解集为( B )A. ,0,B. ,C. ,1,D. 1,12.定义在 R 上的可导函数 ，当 x（0，1）时取得极大值，当22cab321()fxaxbc- 7 -16 题图x（1， 2）时，取得极小值，若（1 t） a+
13、b+t30 恒成立，则实数 t 的取值范围为（ D ）A. B. C.（2，+） D. 2，+）第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高观众 ABC、 、 做了一项预测：A说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙” B说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙” C说：“我认为冠军不会是丙，而是甲” 比赛结果出来后，发现 ABC、 、 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是_甲_14.计算 =_ 2_ 15.如图所示的五个区域中，中心区域是
14、一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为_84_ 16.如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第 n个几何体的表面积是_3n(n+1)_ 个平方单位.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分）（1）用分析法证明： 2130；（2）用反证法证明：三个数 2,a中，至少有一个大于或等于 16.解：
15、（1）因为 和 都是正数，所以要证 230，只要证 221310，224xd5(,)45,4- 8 -展开得 13230，只要证 ，只要证 0，因为 23成立，所以 2130成立.（2）假设 2,a这三个数没有一个大于或等于 16，即 166a，上面不等式相加得 21（1）而22 14aaa，与(1)矛盾,假设不成立,原命题正确.18.（本小题满分 12 分）已知关于 x的方程 2690ixaiR有实数根 b;（1）求实数 ,ab的值.（2）若复数 z满足 2iz.求 z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解：（1） b是方程 2690xiaiR的实根 2690a20ba解得 3
16、b（2）设 ,zstiR，其对应点为 ,zst由 32得： 2224st即 2218st z点的轨迹是以 O1（1，1）为圆心， 为半径的圆，如图所示,当点在 OO1的连线上时, z取到最值 12Or当 zi时， 有最小值，且 min|- 9 -19.（本小题满分 12 分）设 1()23fnn ，是否存在 ()gn使等式：(-)1ff对任意 2,nN都成立，并证明你的结论解析：（I）由 1 得： ()f， 1()f， 1(3)2f，(1)2(-)ffngfn当 n时, 2,得 ()2当 3时, 13)()ff,得 3g当 4时, )4(1f,得 4(.猜想： ()gn下面证明： 1)()1(
17、)2(nfff 对任意 2,nN都成立证明：（1）当 时，已验证成立（2）假设 nk（ ， Nk）时成立，即 ()(1)()fff当 1时，左边= ()2()()1()1()ffkfkffkfk ,1k所以,左边 ()()fkk(1)(1)fk= 1)(kf即当 1nk命题也成立综上，当 ()g时，等式 (1)2(-)()ffngfn 对任意的2,N都成立20.（本小题满分 12 分）已知函数 2lnfxax，其中 aR.- 10 -（1）当 a时，求曲线 yfx的点 1,f处的切线方程；（2）当 0时，若 f在区间 e上的最小值为2，求 a的取值范围.解析：（1）当 1时， 3ln(0)xx
18、， 2123fx， 2,1ff.切线方程为 y.（2）函数 2lnfxax的定义域为 0,，当 0a时， 211axf 21xa，令 fx得 12或 xa.当 0a，即 时， f在 1,e上递增. fx在 1,e上的最小值为 2，符合题意；当 a，即 1a时， fx在 1,a上递减，在 1,ea上递增， fx在 1,e上的最小值为 2ff，不合题意；当 a，即 0a时， fx在 1,e上递减， fx在 1,e上的最小值为 2，不合题意；综上， 的取值范围是 ,.21.（本小题满分 12 分）已知二次函数 ),10,(3:2:,3)(12 tttxylxlxf 且为 常 数其 中和直 线直线 l2与函数 的图象以及直线 l1、 l2与函数 )f的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示，设这两个阴影区域的面积之和为 .(tS （1）求函数 )(tS的解析式；
