1、1课时跟踪检测（四） 曲线与方程 求曲线的方程层级一 学业水平达标1已知直线 l： x y30 及曲线 C：( x3) 2( y2) 22，则点 M(2,1)( )A在直线 l 上，但不在曲线 C 上B在直线 l 上，也在曲线 C 上C不在直线 l 上，也不在曲线 C 上D不在直线 l 上，但在曲线 C 上解析：选 B 将点 M(2,1)的坐标代入方程知 M l， M C2方程 xy2 x2y2 x 所表示的曲线( )A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称C关于原点对称 D关于 x y0 对称解析：选 C 同时以 x 代替 x，以 y 代替 y，方程不变，所以方程 xy2 x2y2 x 所表示
2、的曲线关于原点对称3方程 x| y1|0 表示的曲线是( )解析：选 B 方程 x| y1|0 可化为| y1| x0，则 x0，因此选 B4已知两点 M(2,0)， N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足| MN| P|N P 0，则动点 P(x， y)的轨迹方程为( )A y28 x B y28 xC y24 x D y24 x解析：选 B 设点 P 的坐标为( x， y)，则 M(4,0)， P( x2， y)，P( x2， y)，| MN|4，| ， N 4( x2) x 2 2 y2根据已知条件得 4 4(2 x) x 2 2 y2整理得 y28 x点 P 的轨迹方程为 y2
3、8 x5已知 A(1,0)， B(2,4)， ABC 的面积为 10，则动点 C 的轨迹方程是( )2A4 x3 y160 或 4x3 y160B4 x3 y160 或 4x3 y240C4 x3 y160 或 4x3 y240D4 x3 y160 或 4x3 y240解析：选 B 由两点式，得直线 AB 的方程是 ，即 4x3 y40，y 04 0 x 12 1线段 AB 的长度| AB| 5 2 1 2 42设 C 的坐标为( x， y)，则 5 10，12 |4x 3y 4|5即 4x3 y160 或 4x3 y2406方程 x22 y24 x8 y120 表示的图形为_解析：对方程左边
4、配方得( x2) 22( y2) 20( x2) 20,2( y2) 20，Error! 解得Error!从而方程表示的图形是一个点(2，2)答案：一个点(2，2)7已知两点 M(2,0)， N(2,0)，点 P 满足 M N12，则点 P 的轨迹方程为_解析：设 P(x， y)，则(2 x， y)， (2 x， y)于是 (2 x)(2 x) y212，化简得 x2 y216，此即为所求点 P 的轨迹方程答案： x2 y2168已知点 A(0，1)，当点 B 在曲线 y2 x21 上运动时，线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是_解析：设 M(x， y)， B(x0， y0)，则 y02 x
5、120又 M 为 AB 的中点，所以Error!即Error!将其代入 y02 x 1 得，2 y12(2 x)21，即 y4 x220答案： y4 x29在平面直角坐标系中，已知动点 P(x， y)， PM y 轴，垂足为 M，点 N 与点 P 关于x 轴对称，且 OP N4，求动点 P 的轨迹方程解：由已知得 M(0， y)， N(x， y)，则( x，2 y)，故 ( x， y)(x，2 y) x22 y2，3依题意知， x22 y24，因此动点 P 的轨迹方程为 x22 y2410已知圆 C 的方程为 x2 y24，过圆 C 上的一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m，设 m与 y 轴
6、的交点为 N，若向量 OQ N，求动点 Q 的轨迹解：设点 Q 的坐标为( x， y)，点 M 的坐标为( x0， y0)(y00)，则点 N 的坐标为(0， y0)因为 ，即( x， y)( x0， y0)(0， y0)( x0,2y0)，则 x0 x， y0 y2又点 M 在圆 C 上，所以 x y 4，20 20即 x2 4( y0)y24所以动点 Q 的轨迹方程是 1( y0)x24 y216层级二 应试能力达标1已知点 O(0,0)， A(1，2)，动点 P 满足| PA|3| PO|，则点 P 的轨迹方程是( )A8 x28 y22 x4 y50B8 x28 y22 x4 y50C
7、8 x28 y22 x4 y50D8 x28 y22 x4 y50解析：选 A 设动点 P(x， y)，则由| PA|3| PO|，得3 x 1 2 y 2 2 x2 y2化简，得 8x28 y22 x4 y50故选 A2下列四组方程表示同一条曲线的是( )A y2 x 与 y xB ylg x2与 y2lg xC 1 与 lg(y1)lg( x2)y 1x 2D x2 y21 与| y| 1 x2解析：选 D 根据每一组曲线方程中 x 和 y 的取值范围，不难发现 A、B、C 中各组曲线对应的 x 或 y 的取值范围不一致；而 D 中两曲线的 x 与 y 的取值范围都是1,1，且化简后的解析
8、式相同，所以 D 正确故选 D3方程 y 对应的曲线是( )4 x24解析：选 A 将 y 平方得 x2 y24( y0)，它表示的曲线是圆心在原点，4 x2半径为 2 的圆的下半部分，故选 A4已知 0 2，点 P(cos ，sin )在曲线( x2) 2 y23 上，则 的值为( )A B C 或 D 或 3 53 3 53 3 6解析：选 C 将点 P 的坐标代入曲线( x2) 2 y23 中，得(cos 2)2sin 2 3，解得 cos 又 0 2，所以 或 故选 C12 3 535方程| x1| y1|1 表示的曲线所围成的图形的面积是_解析：方程| x1| y1|1 可写成Err
9、or!或Error!或Error!或Error!其图形如图所示，它是边长为 的正方形，其面积为 22答案：26给出下列结论：方程 1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距为2 的直线；yx 2到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y2；方程( x24) 2( y24) 20 表示四个点其中正确结论的序号是_解析：对于，方程 1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距为2 的直线且除掉点yx 2(2,0)，所以错误；对于，到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y2 或 y2，所以错误；对于，方程( x24) 2( y4) 20 表示点(2,2)，(2，2)，(2，2)，(2,2)四个点，所以正确故
10、填答案：7已知 A 为定点，线段 BC 在定直线 l 上滑动，| BC|4，点 A 到直线 l 的距离为 3，求 ABC 外心的轨迹方程解：建立平面直角坐标系，使 x 轴与 l 重合，点 A 在 y 轴上(如图所示)，则 A(0,3)设 ABC 的外心为 P(x， y)，因为点 P 在线段 BC 的垂直平分线上，所以不妨令 B(x2,0)， C(x2,0)又点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，所以|PA| PB|，5即 ，化简得 x26 y50x2 y 3 2 22 y2于是 ABC 外心的轨迹方程为 x26 y508已知两点 P(2,2)， Q(0,2)以及一条直线 l： y x，设长为
11、的线段 AB 在直线 l2上移动，求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程解：设 A(m， m)， B(m1， m1)，当 m2 且 m1 时，直线 PA 和 QB 的方程分别为 y (x2)2 和m 2m 2y x2m 1m 1由Error! 消去 m，得 x2 y22 x2 y80当 m2 时，直线 PA 和 QB 的方程分别为 x2 和 y3 x2，其交点为(2，4)，满足方程 x2 y22 x2 y80当 m1 时，直线 PA 和 QB 的方程分别为 y3 x4 和 x0，其交点为(0，4)，满足方程 x2 y22 x2 y80综上，可知所求交点 M 的轨迹方程为 x2 y22 x2 y80
