1、1课时跟踪检测（十） 反证法层级一 学业水平达标1用反证法证明命题：“若直线 AB， CD 是异面直线，则直线 AC， BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则 A， B， C， D 四点共面，所以 AB， CD 共面，这与 AB， CD 是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线 AC， BD 也是异面直线；假设直线 AC， BD 是共面直线则正确的序号顺序为( )A BC D解析：选 B 根据反证法的三个基本步骤“反设归谬结论”可知顺序应为.2用反证法证明命题“如果 a， bN， ab 可被 5 整除，那么 a， b 中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为( )A a， b 都能被
2、 5 整除B a， b 都不能被 5 整除C a， b 不都能被 5 整除D a 不能被 5 整除解析：选 B “至少有一个”的否定是“一个也没有” ，即“ a， b 都不能被 5 整除” ，故选 B.3用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )A三个内角中至少有一个钝角B三个内角中至少有两个钝角C三个内角都不是钝角D三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选 B “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个” 4已知 a， b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 的位置关系为( )A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是
3、平行直线 D不可能是相交直线解析：选 C 假设 c b，而由 c a，可得 a b，这与 a， b 异面矛盾，故 c 与 b 不可能是平行直线，故应选 C.5已知 a， b， c， d 为实数，且 c d，则“ a b”是“ a c b d”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2解析：选 B c d， c d， a b， a c 与 b d 的大小无法比较可采用反证法，当 a c b d 成立时，假设 a b， c d， a c b d，与题设矛盾， a b.综上可知， “a b”是“ a c b d”的必要不充分条件6否定“自然数 a， b， c
4、中恰有一个偶数”时，正确的反设是_答案：自然数 a， b， c 中至少有两个偶数或都是奇数7命题“ a， bR，若| a1| b1|0，则 a b1”用反证法证明时应假设为_解析：“ a b1”的反面是“ a1 或 b1” ，所以设为 a1 或 b1.答案： a1 或 b18和两条异面直线 AB， CD 都相交的两条直线 AC， BD 的位置关系是_解析：假设 AC 与 BD 共面于平面 ，则 A， C， B， D 都在平面 内， AB ， CD ，这与 AB， CD 异面相矛盾，故 AC 与 BD 异面答案：异面9求证：1， ，2 不能为同一等差数列的三项3证明：假设 1， ，2 是某一等差
5、数列的三项，设这一等差数列的公差为 d，3则 1 md,2 nd，其中 m， n 为两个正整数，3 3由上面两式消去 d，得 n2 m (n m)3因为 n2 m 为有理数，而 (n m)为无理数，3所以 n2 m (n m)，矛盾，因此假设不成立，3即 1， ，2 不能为同一等差数列的三项310已知函数 f(x)在 R 上是增函数， a， bR.(1)求证：如果 a b0，那么 f(a) f(b) f( a) f( b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论解：(1)证明：当 a b0 时， a b 且 b a. f(x)在 R 上是增函数， f(a) f( b)， f(
6、b) f( a)， f(a) f(b) f( a) f( b)(2)(1)中命题的逆命题为“如果 f(a) f(b) f( a) f( b)，那么 a b0” ，此命题成立用反证法证明如下：假设 a b0，则 a b， f(a) f( b)同理可得 f(b) f( a) f(a) f(b) f( a) f( b)，这与 f(a) f(b) f( a) f( b)矛盾，故假设不成立，3 a b0 成立，即(1)中命题的逆命题成立层级二 应试能力达标1用反证法证明命题“关于 x 的方程 ax b(a0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程 ax b(a0)( )A无解 B有两解C至少有两解 D
7、无解或至少有两解解析：选 D “唯一”的否定是“至少两解或无解” 2下列四个命题中错误的是( )A在 ABC 中，若 A90，则 B 一定是锐角B. ， ， 不可能成等差数列17 13 11C在 ABC 中，若 a b c，则 C60D若 n 为整数且 n2为偶数，则 n 是偶数解析：选 C 显然 A、B、D 命题均真，C 项中若 a b c，则 A B C，若 C60，则 A60， B60， A B C180与 A B C180矛盾，故选 C.3设 a， b， c(，0)，则 a ， b ， c ( )1b 1c 1aA都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2解析：选
8、C 假设都大于2，则 a b c 6，但1b 1c 1a 2( 2)(2)6，矛盾(a1b) (b 1c) (c 1a) (a 1a) (b 1b) (c 1c)4若 ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定解析：选 B 分 ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线 AD(点 D 在 BC 上)，则 ADB ADC，若 ADB 为钝角，则 ADC 为锐角而 ADC BAD， ADC ABD， ABD 与 ACD 不可能相似，与已知不符，只有当 ADB ADC BAC 时，才符合题意 25用反证法证明命
9、题“设 a， b 为实数，则方程 x3 ax b0 至少有一个实根”时，要做的假设是_4解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程 x3 ax b0 没有实根” 答案：方程 x3 ax b0 没有实根6完成反证法证题的全过程设 a1， a2， a7是 1,2，7 的一个排列，求证：乘积 p( a11)( a22)( a77)为偶数证明：假设 p 为奇数，则 a11， a22， a77 均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.但 0奇数，这一矛盾说明 p 为偶数解析：据题目要求及解题步骤， a11， a22， a77 均为奇数，( a11)( a22)( a77)也为奇数即
10、( a1 a2 a7)(127)为奇数又 a1， a2， a7是 1,2，7 的一个排列， a1 a2 a7127，故上式为 0，所以奇数( a11)( a22)( a77)( a1 a2 a7)(127)0.答案：( a11)( a22)( a77)(a1 a2 a7)(127)7设 x， y 都是正数，且 x y2，试用反证法证明： 2 和 2 中至少有一1 xy 1 yx个成立证明：假设 2 和 2 都不成立，1 xy 1 yx即 2， 2.1 xy 1 yx又 x， y 都是正数，1 x2 y,1 y2 x.两式相加得到 2( x y)2( x y)， x y2.与已知 x y2 矛盾
11、，所以假设不成立，所以 2 和 2 中至少有一个成立1 xy 1 yx8已知数列 an满足： a1 ， ， anan1 0( n1)；数列12 3 1 an 11 an 2 1 an1 an 1bn满足： bn a a (n1)2n 1 2n5(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)证明：数列 bn中的任意三项不可能成等差数列解：(1)由题意可知，1 a (1 a )2n 123 2n令 cn1 a ，则 cn1 cn.2n23又 c11 a ，则数列 cn是首项为 c1 ，公比为 的等比数列，即2134 34 23cn n1 ，34 (23)故 1 a n1 a 1 n1 .2n34 (
12、23) 2n 34 (23)又 a1 0， anan1 0，12故 an(1) n1 .1 34(23)n 1bn a a 1 n1 n1 .2n 1 2n 134(23)n 34 (23) 14 (23)(2)用反证法证明假设数列 bn存在三项 br， bs， bt(r s t)按某种顺序成等差数列，由于数列 bn是首项为 ，公比为 的等比数列，于是有 br bs bt，则只可能有 2bs br bt成立14 232 s1 r1 t1 ，14 (23) 14 (23) 14 (23)两边同乘以 3t1 21 r，化简得 3t r2 t r22 s r3t s.由于 r s t，上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列 bn中任意三项不可能成等差数列
