1、1课时跟踪检测（十） 抛物线及其标准方程层级一 学业水平达标1抛物线 y12 x2上的点到焦点的距离的最小值为( )A3 B6C D148 124解析：选 C 将方程化为标准形式是 x2 y，因为 2p ，所以 p 故到焦点的112 112 124距离最小值为 1482已知抛物线 y22 px(p0)的准线与圆( x3) 2 y216 相切，则 p的值为( )A B1C2 D4解析：选 C 抛物线 y22 px的准线 x 与圆( x3) 2 y216 相切，p2 1，即 p2p23已知抛物线 C： y28 x的焦点为 F，准线为 l， P是 l上一点， Q是直线 PF与 C的一个交点，若 FP
2、4 Q，则| QF|( )A B72 52C3 D2解析：选 C 过点 Q作 QQ l交 l于点 Q，因为 FP4 Q，所以| PQ| PF|34，又焦点 F到准线 l的距离为 4，所以|QF| QQ|3故选 C4设圆 C与圆 x2( y3) 21 外切，与直线 y0 相切，则 C的圆心轨迹为( )A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆解析：选 A 由题意知，圆 C的圆心到点(0,3)的距离比到直线 y0 的距离大 1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线 y1 的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线5已知双曲线 C1： 1( a0， b0)的离心率为 2若抛物线 C2： x22
3、py(p0)x2a2 y2b22的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为( )A x2 y B x2 y833 1633C x28 y D x216 y解析：选 D 双曲线的渐近线方程为 y x，由于 2，所以ba ca a2 b2a2 1 (ba)2 ，所以双曲线的渐近线方程为 y x抛物线的焦点坐标为 ，所以 2，所ba 3 3 (0， p2) p22以 p8，所以抛物线方程为 x216 y6抛物线 x y2的焦点坐标是_14m解析：方程改写成 y24 mx，得 2p4 m， p2 m，即焦点( m,0)答案：( m,0)7若抛物线 y24 x上的点 M到焦点的距离
4、为 10，则 M到 y轴的距离是_解析：设点 M的横坐标为 x，则点 M到准线 x1 的距离为 x1，由抛物线的定义知 x110， x9，点 M到 y轴的距离为 9.答案：98对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在 y轴上；焦点在 x轴上；抛物线上横坐标为 1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为 y210 x的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线 y210 x的焦点在 x轴上，满足，不满足；设 M(1， y0)是 y210 x上一点，则| MF|1 1 6，所以不满足；由于抛物线 y210 x的焦点为 ，p2 52 72 (52
5、， 0)过该焦点的直线方程为 y k ，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则(x52)k2，此时存在，所以满足答案：9已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，抛物线上一点 M(m，3)到焦点的距离为 5，求 m的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为 x22 py(p0)，则焦点 F ，准线 l： y ，作 MN l，垂足为 N，则(0， p2) p2|MN| MF|5，而| MN|3 ，3 5，即 p4p2 p23所以抛物线方程为 x28 y，准线方程为 y2由 m28(3)24，得 m2 6法二：设所求抛物线方程为 x22 py(p0)，则焦点为 F (0，
6、 p2) M(m，3)在抛物线上，且| MF|5，故Error! 解得Error!抛物线方程为 x28 y， m2 ，准线方程为 y2610如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 05 米(1)以抛物线的顶点为原点 O，其对称轴所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度 AB为 7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到01 米)?解：如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x22 py(p0)，因为点 C(5，5)在抛物线上，所
7、以该抛物线的方程为 x25 y(2)设车辆高为 h，则| DB| h05，故 D(35， h65)，代入方程 x25 y，解得 h405，所以车辆通过隧道的限制高度为 40 米层级二 应试能力达标1过点 A(3,0)且与 y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A圆 B椭圆C直线 D抛物线解析：选 D 设 P为满足条件的点，则点 P到点 A的距离等于点 P到 y轴的距离，即点 P在以点 A为焦点， y轴为准线的抛物线上，所以点 P的轨迹为抛物线故选 D2抛物线 y24 x的焦点为 F，点 P为抛物线上的动点，点 M为其准线上的动点，当 FPM为等边三角形时，其面积为( )A2 B43C6 D4 3解析
8、：选 D 如图， FPM是等边三角形由抛物线的定义知 PM l4在 Rt MQF中，| QF|2， QMF30，| MF|4， S PMF 424 故选 D34 33已知抛物线 x24 y上有一条长为 6的动弦 AB，则 AB中点到 x轴的最短距离为( )A B C1 D234 32解析：选 D 设 AB的中点为 M，焦点为 F(0,1)过 M作准线 l： y1 的垂线 MN，过A作 AC l于 C，过 B作 BD l于 D，则| MN| 3，所以|AC| |BD|2 |AF| |BF|2 |AB|2AB中点到 x轴的最短距离为 312，此时动弦 AB过焦点，故选 D4设抛物线 C： y22
9、px(p0)的焦点为 F，点 M在 C上，| MF|5若以 MF为直径的圆过点(0,2)，则 C的方程为( )A y24 x或 y28 x B y22 x或 y28 xC y24 x或 y216 x D y22 x或 y216 x解析：选 C 由已知得抛物线的焦点 F ，设点 A(0，2)，抛物线上点 M(x0， y0)，(p2， 0)则 AF ， M 由已知得， 0，即(p2， 2) (y202p， y0 2)y 8 y0160，因而 y04， M 20 (8p， 4)由| MF|5 得， 5，又 p0，解得 p2 或 p8，故选 C(8p p2)2 165设 F为抛物线 y24 x的焦点，
10、 A， B， C为该抛物线上三点，若A B C0，则| F|_解析：因为 0，所以点 F为 ABC的重心，则 A， B， C三点的横坐标之和为点 F的横坐标的三倍，即 xA xB xC3，所以| | xA1 xB1 xC16答案：66从抛物线 y24 x上的一点 P引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且| PM|5，设抛物线的焦点为 F，则 MPF的内切圆的面积为_解析：如图，| PM|5，点 P的坐标为(4,4)， S PMF 541012设 PMF的内切圆圆心为 O，半径为 r，5 S PMF S O PM S O PF S O MF，即 (552 )r10，解得 r ，12 5 5 52故
11、PMF内切圆的面积为 r2 15 552答案： 15 5527已知 M是抛物线 y22 px(p0)上任一点(不与原点重合)， F是其焦点求证：以 MF为直径的圆与 y轴相切证明：如图，过 M作 MN l于 N，交 y轴于点 Q， O是 MF的中点，作 O R y轴于 R| MF| MN|，| OF| OP| QN|，| O R| (|OF| QM|)12 (|QM| QN|)12 |MN| |MF|，12 12以 MF为直径的圆与 y轴相切8设 P是抛物线 y24 x上的一个动点， F为抛物线的焦点(1)若点 P到直线 x1 的距离为 d， A(1,1)，求| PA| d的最小值；(2)若 B(3,2)，求| PB| PF|的最小值解：(1)依题意，抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1由抛物线的定义，知| PF| d，于是问题转化为求| PA| PF|的最小值如图，连接 AF，交抛物线于点 P，则最小值为 22 12 5(2)把点 B的横坐标代入 y24 x中，得 y ，12因为 2，所以点 B在抛物线内部12自点 B作 BQ垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1(如图)由抛物线的定义，知| P1Q| P1F|， 则| PB| PF| P1B| P1Q| BQ|3141即| PB| PF|的最小值为 4
