1、12.2 椭 圆221 椭圆及其标准方程预习课本 P3842，思考并完成以下问题1平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？2椭圆的标准方程是什么？新 知 初 探 1椭圆的定义平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距点睛 定义中的条件 2a|F1F2|0 不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的否则：当 2a| F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2；当 2ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2焦点坐标 ( c,0)，( c,0) (0，
2、c)，(0， c)a， b， c 的关系c2 a2 b2小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )(2)已知椭圆的焦点是 F1， F2， P 是椭圆上的一动点，如果延长 F1P 到 Q，使得2|PQ| PF2|，则动点 Q 的轨迹为圆( )(3)方程 1( a0， b0)表示的曲线是椭圆( )x2a2 y2b2答案：(1) (2) (3)2若椭圆 1 的一个焦点坐标为(1,0)，则实数 m 的值为( )x25 y2mA1 B2C4 D6答案：C3椭圆 1 的焦点坐标是_x225 y2169答案：(0，12)求
3、椭圆的标准方程典例 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2将点(5,0)代入上式解得 a5，又 c4，所以 b2 a2 c225169故所求椭圆的标准方程为 1x225 y29(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b2因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以Error!Error!故所求椭圆的标准方程为 x21y24确定椭圆的方程包
4、括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定 a2， b2的具体数值，常根据条件列方程求解 活学活用3求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2， )， ；2 ( 1，142)(2)过点( ， )，且与椭圆 1 有相同的焦点3 5y225 x29解：法一：(分类讨论法)若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1x28 y24若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 1( ab0)
5、y2a2 x2b2由已知条件得Error!解得Error!则 a2b0 矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为 1x28 y24法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为 Ax2 By21( A0， B0， A B)将两点(2， )， 代入，得Error!解得Error!2 ( 1， 142)所以所求椭圆的标准方程为 1x28 y24(2)因为所求椭圆与椭圆 1 的焦点相同，所以其焦点在 y 轴上，且y225 x29c225916设它的标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b2因为 c216，且 c2 a2 b2，故 a2 b216又点( ， )在椭圆上，所以 1，3 5 5 2a2 3 2b2即
6、 15a2 3b2由得 b24， a220，所以所求椭圆的标准方程为 1y220 x24椭圆的定义及其应用典例 如图所示，已知椭圆的方程为 1，若点 P 在第二象限，x24 y23且 PF1F2120，4求 PF1F2的面积解 由已知得 a2， b ，3所以 c 1，| F1F2|2 c2a2 b2 4 3在 PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2| PF1|2| F1F2|22| PF1|F1F2|cos 120，即| PF2|2| PF1|242| PF1|由椭圆定义，得| PF1| PF2|4，即| PF2|4| PF1|将代入解得| PF1| 65所以 S PF1F2 |PF1|F1
7、F2|sin 12012 2 ，12 65 32 335即 PF1F2的面积是 335(1)椭圆定义的应用中，要实现两个焦点半径之间的相互转化，将两个焦半径之和看作个整体(2)涉及焦点三角形面积时，可把| PF1|，| PF2|看作一个整体，运用|PF1|2| PF2|2(| PF1| PF2|)22| PF1|PF2|及余弦定理求出| PF1|PF2|，而无需单独求解 活学活用设 F1， F2是椭圆 1 的两个焦点， P 是椭圆上一点，且| PF1| PF2|2则x216 y212 PF1F2是( )A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形解析：选 B 由椭圆的定义得| PF
8、1| PF2|8又| PF1| PF2|2，| PF1|5，| PF2|3，又| F1F2|2 c4，故 PF1F2为直角三角形与椭圆有关的轨迹问题典例 (1)已知 P 是椭圆 1 上一动点， O 为坐标原点，则线段 OP 中点 Q 的轨x24 y28迹方程为_5(2)已知圆 M：( x1) 2 y21，圆 N：( x1) 2 y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C求 C 的方程解析(1)设 P(xP， yP)， Q(x， y)，由中点坐标公式得Error!所以Error!又点 P 在椭圆 1 上，所以 1，x24 y28 2x 24 2y 28即 x2
9、1y22答案： x2 1y22(2)解：由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径r23设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以| PM| PN|( R r1)( r2 R) r1 r24由椭圆定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭3圆(左顶点除外)，其方程为 1( x2)x24 y23解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解
10、即可(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法 活学活用求过点 P(3,0)且与圆 x26 x y2910 相内切的动圆圆心的轨迹方程解：圆方程配方整理得( x3) 2 y210 2，圆心为 C1(3，0)，半径为 R10设所求动圆圆心为 C(x， y)，半径为 r，依题意有Error!消去 r 得R| PC| CC1|PC| CC1| R，即| PC| CC1|10又 P(3,0)， C1(3,0)，且| PC1|60，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆则命题甲是
11、命题乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分且必要条件 D既不充分又不必要条件解析：选 B 利用椭圆定义若 P 点轨迹是椭圆，则| PA| PB|2 a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若| PA| PB|2 a(a0，常数)是不能推出 P 点轨迹是椭圆的这是因为：仅当 2a|AB|时， P 点轨迹才是椭圆；而当 2a| AB|时， P 点轨迹是线段AB；当 2ab”是“方程 1 表示椭圆”的( )x2a2 y2b2A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分条件又不必要条件解析：选 A 若 ab，则 a2 b2，方程 1 表示椭圆，是充分条件，若方程 x2a2
12、 y2b2 x2a21 表示椭圆，得不到 ab，不是必要条件y2b25已知 P 为椭圆 C 上一点， F1， F2为椭圆的焦点，且| F1F2|2 ，若| PF1|与| PF2|的3等差中项为| F1F2|，则椭圆 C 的标准方程为( )7A 1x212 y29B 1 或 1x212 y29 x29 y212C 1x29 y212D 1 或 1x248 y245 x245 y248解析：选 B 由已知 2c| F1F2|2 ， c 3 32 a| PF1| PF2|2| F1F2|4 ，3 a2 b2 a2 c293故椭圆 C 的标准方程是 1 或 1x212 y29 x29 y2126椭圆
13、1 的焦距是 2，则 m 的值是_x2m y24解析：当椭圆的焦点在 x 轴上时， a2 m， b24， c2 m4，又 2c2， c1 m41， m5当椭圆的焦点在 y 轴上时， a24， b2 m， c24 m1， m3答案：3 或 57已知椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点，则椭圆 C 的标准方程为_解析：法一：依题意，可设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，且可知左焦点为x2a2 y2b2F(2,0)从而有Error!解得Error!又 a2 b2 c2，所以 b212，故椭圆 C 的标准方程为 1x216 y212法二：依题意，可设椭圆 C 的方程为 1(
14、ab0)，则Error!解得 b212 或x2a2 y2b2b23(舍去)，从而 a216所以椭圆 C 的标准方程为 1x216 y212答案： 1x216 y2128椭圆的两焦点为 F1(4,0)， F2(4,0)，点 P 在椭圆上，若 PF1F2的面积最大为812，则椭圆方程为_解析：如图，当 P 在 y 轴上时 PF1F2的面积最大， 8b12， b312又 c4， a2 b2 c225椭圆的标准方程为 1x225 y29答案： 1x225 y299设 F1， F2分别是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点设椭圆 C 上一点x2a2 y2b2到两焦点 F1， F2的距离和等于 4，写出
15、椭圆 C 的方程和焦点坐标(3，32)解：由点 在椭圆上，得 1，(3，32) 3 2a2 (32)2b2又 2a4，所以椭圆 C 的方程为 1，焦点坐标分别为(1,0)，(1,0)x24 y2310已知椭圆 C 与椭圆 x237 y237 的焦点 F1， F2相同，且椭圆 C 过点 (572， 6)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 P C，且 F1PF2 ，求 F1PF2的面积 3解：(1)因为椭圆 y21 的焦点坐标为(6,0)，(6,0)x237所以设椭圆 C 的标准方程为 1( a236)x2a2 y2a2 36将点 的坐标代入整理得 4a4463 a26 3000，解得 a21
16、00 或 a2 (舍(572， 6) 634去)，所以椭圆 C 的标准方程为 1x2100 y264(2)因为 P 为椭圆 C 上任一点，所以| PF1| PF2|2 a209由(1)知 c6，在 PF1F2中，| F1F2|2 c12，所以由余弦定理得：|F1F2|2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos ， 3即 122| PF1|2| PF2|2| PF1|PF2|因为| PF1|2| PF2|2(| PF1| PF2|)22| PF1|PF2|，所以 122(| PF1| PF2|)23| PF1|PF2|所以 12220 23| PF1|PF2|所以| PF1|PF
17、2| 202 1223 3283 2563S PF1F2 |PF1|PF2|sin 12 3 12 2563 32 6433所以 F1PF2的面积为 6433层级二 应试能力达标1下列说法中正确的是( )A已知 F1(4,0)， F2(4,0)，平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆B已知 F1(4,0)， F2(4,0)，平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆C平面内到点 F1(4,0)， F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1， F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D平面内到点 F1(4,0)， F2(4,0)距离相等的点的轨迹是
18、椭圆解析：选 C A 中，| F1F2|8，则平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是线段，所以 A 错误；B 中，到 F1， F2两点的距离之和等于 6，小于| F1F2|，这样的轨迹不存在，所以 B 错误；C 中，点 M(5,3)到 F1， F2两点的距离之和为 5 4 2 324 |F1F2|8，则其轨迹是椭圆，所以 C 正确；D 中，轨迹应是线段 5 4 2 32 10F1F2的垂直平分线，所以 D 错误故选 C2椭圆 1 的焦点为 F1， F2， P 为椭圆上的一点，已知 PF1 20，则x225 y29F1PF2的面积为( )A9 B12C10 D8解析：选 A
19、PF1 20，10 PF1 PF2| PF1|2| PF2|2| F1F2|2且| PF1| PF2|2 a又 a5， b3， c4，Error! 2，得 2|PF1|PF2|36，| PF1|PF2|18， F1PF2的面积为S |PF1|PF2|9123若 ，方程 x2sin y2cos 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 的(0， 2)取值范围是( )A B( 4， 2) (0， 4C D(0， 4) 4， 2)解析：选 A 易知 sin 0，cos 0，方程 x2sin y2cos 1 可化为 1因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以 0，即 sin cos x21sin y21cos 1cos 1sin 0又 ，所以 (0， 2) 4 24已知 P 为椭圆 1 上的一点， M， N 分别为圆( x3) 2 y21 和圆( x3)x225 y2162 y24 上的点，则| PM| PN|的最小值为( )A5 B7C13 D15解析：选 B 由题意知椭圆的两个焦点 F1， F2分别是两圆的圆心：且|PF1| PF2|10，从而| PM| PN|的最小值为| PF1| PF2|1275若椭圆 2kx2 ky21 的一个焦点为(0，4)，则 k 的值为_解析：易知 k0，方程 2kx2 ky21 变形为 1，所以 16，解得y21kx212k 1k 12kk 132答案：132
