1、1课时跟踪检测（一） 两个计数原理及其简单应用层级一 学业水平达标1从甲地到乙地一天有汽车 8 班，火车 3 班，轮船 2 班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )A13 种 B16 种C24 种 D48 种解析：选 A 应用分类加法计数原理，不同走法数为 83213(种)2从集合 中任取两个互不相等的数 a， b 组成复数 a bi，其0， 1， 2， 3， 4， 5， 6中虚数有( )A30 个 B42 个C36 个 D35 个解析：选 C a bi 为虚数， b0，即 b 有 6 种取法， a 有 6 种取法，由分步乘法计数原理知可以组成 6636 个虚数3甲、乙两人从 4 门课
2、程中各选修 1 门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( )A6 种 B12 种C30 种 D36 种解析：选 B 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 1 门，由分步乘法计数原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有 4312 种4已知两条异面直线 a， b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为( )A40 B16C13 D10解析：选 C 分两类：第 1 类，直线 a 与直线 b 上 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第 2 类，直线 b 与直线 a 上 5 个点可以确定 5 个不同的平面故可以确定 8513 个不同的平面5从集合 中，选出 5 个数组成的子
3、集，使得这 5 个数中任意两1， 2， 3， 4， ， 10个数的和都不等于 11，则这样的子集有( )A32 个 B34 个C36 个 D38 个解析：选 A 先把数字分成 5 组：1,10，2,9，3,8，4,7，5,6，由于选出的 5 个数中，任意两个数的和都不等于 11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2222232 个这样的子集6一个礼堂有 4 个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法_种解析：从任一门进有 4 种不同走法，从任一门出也有 4 种不同走法，故共有不同走法24416 种答案：167将三封信投入 4 个邮箱，不同的投法有_种解析：第一封信有 4 种投法，第二
4、封信也有 4 种投法，第三封信也有 4 种投法，由分步乘法计数原理知，共有不同投法 4364 种答案：648.如图所示，在 A，B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通今发现 A，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 种解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：第 1 类，脱落 1 个，有 1,4，共 2 种；第 2 类，脱落 2 个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共 6 种；第 3 类，脱落 3 个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共 4 种；第 4 类，脱落 4 个，有(1,2,3,4)，共 1 种根
5、据分类加法计数原理，共有 2+6+4+1=13 种焊接点脱落的情况答案：139若 x， yN *，且 x y6，试求有序自然数对( x， y)的个数解：按 x 的取值进行分类：x1 时， y1,2，5，共构成 5 个有序自然数对；x2 时， y1,2，4，共构成 4 个有序自然数对；x5 时， y1，共构成 1 个有序自然数对根据分类加法计数原理，共有 N5432115 个有序自然数对10现有高一四个班的学生 34 人，其中一、二、三、四班分别有 7 人、8 人、9 人、10 人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(
6、3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选 1 人，有 7 种选法；第二类，从二班学生中选 1 人，有 8 种选法；第三类，从三班学生中选 1 人，有 9 种选法；第四类，从四班学生中选 1 人，有 10 种选法所以共有不同的选法 N7891034(种)(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长所以共有不同的选法 N789105 040(种)3(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选 1 人，有 78 种不同的选法；从一、三班学生中各选 1 人，有 79 种不同的选法；从一、四班学生中各选
7、1 人，有 710种不同的选法；从二、三班学生中各选 1 人，有 89 种不同的选法；从二、四班学生中各选 1 人，有 810 种不同的选法；从三、四班学生中各选 1 人，有 910 种不同的选法所以，共有不同的选法 N787971089810910431(种)层级二 应试能力达标1( a1 a2)(b1 b2)(c1 c2 c3)完全展开后的项数为( )A9 B12C18 D24解析：选 B 每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为 22312.2(全国卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志
8、愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A24 B18C12 D9解析：选 B 由题意可知 E F 有 6 种走法， F G 有 3 种走法，由分步乘法计数原理知，共 6318 种走法，故选 B3有 4 件不同颜色的衬衣，3 件不同花样的裙子，另有 2 套不同样式的连衣裙 “五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式( )A24 B14C10 D9解析：选 B 第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有 4312 种方式；第二类：选 2 套连衣裙中的一套服装有 2 种选法由分类加法计数原理得，共有 12214(种)选择方式4从2，1,0,1,2,3 这六个数字中任
9、选 3 个不重复的数字作为二次函数y ax2 bx c 的系数 a， b， c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为( )A6 B20C100 D120解析：选 A 分三步：第一步 c0 只有 1 种方法；第二步确定 a： a 从2，1 中选一个，有 2 种不同方法；第三步确定 b： b 从 1,2,3 中选一个，有 3 种不同的方法4根据分步乘法计数原理得共有 1236 种不同的方法，故所求抛物线的条数共 6条5圆周上有 2n 个等分点( n 大于 2)，任取 3 个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为_解析：先在圆周上找一点，因为有 2n 个等分点，所以应有 n 条直径，不过
10、该点的直径应有 n1 条，这 n1 条直径都可以与该点形成直角三角形，即一个点可形成 n1 个直角三角形，而这样的点有 2n 个，所以一共可形成 2n(n1)个符合条件的直角三角形答案：2 n(n1)6用 0,1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_解析：0,1,2，9 共能组成 91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有 998648(个)，有重复数字的三位数有 900648252(个)答案：2527某校高二共有三个班，各班人数如下表.男生人数 女生人数 总人数高二(1)班 30 20 50高二(2)班 30 30 60高二(3)班 35 20 55(1)从三个班中
11、选 1 名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从每个班选 1 名学生任学生会主席，共有 3 类不同的方案：第 1 类，从高二(1)班中选出 1 名学生，有 50 种不同的选法；第 2 类，从高二(2)班中选出 1 名学生，有 60 种不同的选法；第 3 类，从高二(3)班中选出 1 名学生，有 55 种不同的选法根据分类加法计数原理知，从三个班中选 1 名学生任学生会主席，共有506055165 种不同的选法(2)从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选 1 名
12、学生任学生会生活部部长，共有 3 类不同的方案：第 1 类，从高二(1)班男生中选出 1 名学生，有 30 种不同的选法；第 2 类，从高二(2)班男生中选出 1 名学生，有 30 种不同的选法；第 3 类，从高二(3)班女生中选出 1 名学生，有 20 种不同的选法根据分类加法计数原理知，从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长，共有 30302080 种不同的选法58已知集合 A a1， a2， a3， a4，集合 B b1， b2，其中ai， bj(i1,2,3,4， j1,2)均为实数(1)从集合 A 到集合 B 能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合 A 为定义域，集合 B 为值域的不同函数？解：(1)因为集合 A 中的每个元素 ai(i1,2,3,4)与集合 B 中元素的对应方法都有 2种，由分步乘法计数原理，可构成 A B 的映射有 N2 416 个(2)在(1)的映射中， a1， a2， a3， a4均对应同一元素 b1或 b2的情形此时构不成以集合A 为定义域，以集合 B 为值域的函数，这样的映射有 2 个所以构成以集合 A 为定义域，以集合 B 为值域的函数有 M16214 个
