1、1复习课(三) 不等式一元二次不等式一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体贯穿于高中数学的始终，更是高考的重点内容，在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查，一般以小题形式出现，难度不大，但有时在解答题中与其它知识联系在一起，难度较大考 点 精 要 解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽(1)确定 ax2 bx c0(a0)或 ax2 bx c0)在判别式 0 时解集的结构是关键在未确定 a 的取值情况下，应先分 a0 和 a0 两种情况进行讨论(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可
2、知二次项系数 a 的符号和方程ax2 bx c0 的两个根，再由根与系数的关系就可知 a， b， c 之间的关系(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：对二次项系数与0 的大小进行讨论；在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与 0 的大小进行讨论；当判别式大于 0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论典例 (1)已知不等式 ax2 bx20 的解集为 x|112C x|21(2)解关于 x 的不等式 ax22 ax a30.解析 (1)由题意知 x1， x2 是方程 ax2 bx20 的根由根与系数的关系得Error!Error!不等式 2x2 bx a4 的
3、解集为 x|xb(1)求 a， b 的值；(2)解不等式 ax2( ac b)x bc4 的解集为 x|xb，所以 x11 与 x2 b 是方程ax23 x20 的两个实数根， b1 且 a0.由根与系数的关系，得Error!解得Error!(2)不等式 ax2( ac b)x bc2 时，不等式( x2)( x c)2 时，不等式 ax2( ac b)x bc0， b0)，当且仅当 a b 时，等号成立；ab(2)a2 b22 ab， ab 2(a， bR)，当且仅当 a b 时，等号成立；(a b2 )(3) 2( a， b 同号且均不为零)，当且仅当 a b 时，等号成立；ba ab(4
4、)a 2( a0)，当且仅当 a1 时，等号成立； a 2( a0， y0，得 4x29 y23 xy2(2 x)(3y)3 xy(当且仅当 2x3 y 时等号成立)，12 xy3 xy30，即 xy2， xy 的最大值为 2.答案 (1)C (2)C类题通法条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值题 组 训 练 61若正数 a， b 满足 1，则 的最小值为( )1a 1b 1a 1 4b 1A3 B4C5 D6解析：选 B 依题意
5、，因为 1，1a 1b( a1)( b1)1，因此 2 4，1a 1 4b 1 4 a 1 b 1当且仅当 ，1a 1 4b 1即 a ， b3 时“”成立322设 x， yR，且 xy0，则 的最小值为_(x21y2)(1x2 4y2)解析： 5 4 x2y252 9，当且仅当 x2y2(x21y2)(1x2 4y2) 1x2y2 1x2y24x2y2时“”成立12答案：9绝对值不等式绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力考 点 精 要 1公式法|f(x)|g(x)f(x)g(x)或 f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.3零点分段法
6、含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解4对于不等式恒成立求参数范围问题，常用分离参数法、更换主元法、数形结合法解7决典例 已知 f(x)| ax1|( aR)，不等式 f(x)3 的解集为 x|2 x1(1)求 a 的值；(2)若 k 恒成立，求 k 的取值范围|f x 2f(x2)|解 (1)由| ax1|3 得4 ax2.又 f(x)3 的解集为 x|2 x1，所以当 a0 时，不合题意当 a0 时， x
7、，得 a2.4a 2a(2)法一：记 h(x) f(x)2 f ，(x2)则 h(x)Error!所以| h(x)|1，因此 k 的取值范围是1，)法二： |2 x1|2| x1|f x 2f(x2)|2 1，|x12| |x 1|由 k 恒成立，|f x 2f(x2)|可知 k1，所以 k 的取值范围是1，)类题通法解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值题 组 训 练 1不等式|2 x1|2| x1|0 的解集为_解析：原不等式即|2 x1|2| x1|，两端平
8、方后解得 12x3，即 x .14答案：Error!2设关于 x 的不等式 lg(|x3| x7|) a.(1)当 a1 时，解此不等式；(2)当 a 为何值时，此不等式的解集是 R.解：(1)当 a1 时，lg(| x3| x7|)1，|x3| x7|10，Error!或Error!或Error!8x7 或 x3.所以不等式的解集为 x|x3 或 x7(2)设 f(x)| x3| x7|，则有 f(x)|( x3)( x7)|10，当且仅当( x3)(x7)0，即3 x7 时， f(x)取得最小值 10.lg(| x3| x7|)1.要使 lg(|x3| x7|) a 的解集为 R，只要 a
9、1.1若 0，则下列不等式不正确的是( )1a 1bA a b ab B. 0ba abC ab b2 D a2 b2解析：选 D 由 0，可得 b a0，故选 D.1a 1b2已知不等式 x22 x30 的解集为 A，不等式 x2 x60 的解集为 B，不等式x2 ax b0 的解集是 A B，那么 a b 等于( )A3 B1C1 D3解析：选 A 由题意： A x|1 x3， B x|3 x2 A B x|1 x2，由根与系数的关系可知：a1， b2， a b3.3函数 y (x1)的最小值是( )x2 2x 1A2 2 B2 23 3C2 D23解析：选 A x1， x10. y x2
10、 2x 1 x2 2x 2x 2x 1x2 2x 1 2 x 1 3x 1 x 1 2 2 x 1 3x 1 x1 23x 192 2（当且仅当 x1 ，即 x 1 时等号成立） 33x 1 34不等式| x2| x1|0 的解集为( )A. B.( ，32) ( ， 32)C. D.(32， ) ( 32， )解析：选 A 不等式| x2| x1|0 即| x2| x1|，平方化简可得 2x3，解得 x ，故选 A.325已知圆 C：( x a)2( y b)21，平面区域 ：Error!若圆心 C ，且圆 C 与 x轴相切，则 a2 b2的最大值为( )A5 B29C37 D49解析：选
11、C 由已知得平面区域 为 MNP 内部及边界圆 C 与 x 轴相切， b1.显然当圆心 C 位于直线 y1 与 x y70 的交点(6,1)处时， amax6. a2 b2的最大值为621 237.故选 C.6设正实数 x， y， z 满足 x23 xy4 y2 z0，则当 取得最大值时， 的最大xyz 2x 1y 2z值为( )A0 B1C. D394解析：选 B 由 x23 xy4 y2 z0，得 z x23 xy4 y2， .xyz xyx2 3xy 4y2 1xy 4yx 3又 x， y， z 为正实数， 4，即 1，xy 4yx xyz当且仅当 x2 y 时取等号，此时 z2 y2.
12、 2x 1y 2z 22y 1y 22y2 2 21，(1y) 2y (1y 1)10当 1，即 y1 时，上式有最大值 1.1y7若 x， y 满足约束条件Error!则 的最大值为_yx解析：画出可行域如图阴影部分所示， 表示过点( x， y)与原点(0,0)的直线的斜率，yx点( x， y)在点 A 处时 最大yx由Error! 得Error! A(1,3) 的最大值为 3.yx答案：38设正数 a，使 a2 a20 成立，若 t0，则 logat_loga (填“” “”12 t 12“”或“0，所以 a1，又 a0，所以 a1，因为 t0，所以 ，t 12 t所以 loga log
13、a logat.t 12 t 12答案：9若实数 x， y 满足约束条件Error!已知点( x， y)所表示的平面区域为三角形，则实数k 的取值范围为_，又 z x2 y 有最大值 8，则实数 k_.解析：作出一元二次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示要想点( x， y)所表示的平面区域为三角形，则 B(2,2)必须在直线 2x y k 的右下方，即 222 k，则 k2，则实数 k 的取值范围为(，2)观察图象可知，当直线 z x2 y 过点 A 时， z 有最大值，联立Error!解得 Error!即 A ，代入 z x2 y 中，即 2 8，解得 k4.(4 k3 ， 8 k3 ) 4 k3 8 k3答案：(，2) 410已知函数 f(x)| x2|.(1)解不等式： f(x1) f(x2)4；(2)已知 a2，求证：对任意 xR， f(ax) af(x)2 恒成立
