1、- 1 -南昌二中 20172018 学年度下学期第二次考试高二数学（理）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确每小题 5 分，共 60 分）1四封信投入 5 个信箱的不同投信方法数为 （ ） A B C D444545A2. 已知直线 ， 与平面 ，且 ，则在平面 内不存在 与 （ ）la/lalA平行 B垂直 C成 角 D相交 3. 6 本相同的数学书和 3 本相同的语文书分给 9 个人,每人 1 本,共有不同分法( )A.C B.A C.A D.A A3996394若 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为 ( )1nxA.540 B.162 C.162 D.
2、5405有 8 个大小相同的球，上面分别标有 1，2，3，4，5，6，7，8，现任取两个球，则两个球的序号不相邻的概率为 （ ）A B C D14786在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取 100 只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，下列结论正确的是（ ） A. 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 5%过 的 前 提 下 ,认 为 “小 动 物 是 否 被 感 染 与 有 没 有 服 用 疫 苗 有 关 ”；B 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 的 前 提 下 ， 认 为 “小 动 物 是 否 被 感 染
3、 与 有 没 有 服 用 疫 苗 无 关 ”；C有 97.5的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” ；D有 的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” 感染 未感染 总计服用 10 40 50未服用 20 30 50总计 30 70 1002PKk010 005 00252706 3841 5024- 2 -7已知随机变量 服从正态分布 N（2， 2） ，且 P（ 4）0.8，则 P（ 0）( )A0.6 B0.4 C0.3 D0.28. 一个正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的左视图的面积为（ ）A 3B 5C 2D 49甲、乙两个盒子中装有相同大小的红球和白球
4、若干，从甲盒中取出一个红球的概率为 P，从乙盒中取出一个球为红球的概率为 ，而甲盒中球的总数是乙盒中的总数的 2 倍。若将15两盒中的球混合后，取出一个球为红球的概率为 ，则 P 的值为（ ）3A B C D1532210A、B 两位同学各有 3 张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时 A赢得 B 一张卡片，否则 B 赢得 A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完 5 次硬币时游戏终止的概率是（ ）A B C D16321831611如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1中，D 是 AC 中点，且直线 AB1与平面 BCC1B1所成的角为 300，则异面直
5、线 AB1与 BD 所成角的大小为 （ ）A30 0 B45 0 C60 0 D90 012正方体 ABCDA B C D 的各个顶点与各棱的中点共 20 个点中，任取两点连成直线，在1这些直线中任取一条，它与对角线 BD 垂直的概率为（ ） 1A B C D216219027902716- 3 -二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13异面直线 ， 上各有 5 个点和 8 个点，经过这些点最多能确定 个三角形。 ab14.已知 的展开式中所有项的系数之和为 16，则展开式中含 项的系数为 2nx 2x(用数字作答). 15袋中装有一些大小相同的小球，其中号数为 1 的小球 1 个，号数
6、为 2 的小球 2 个，号数为 3 的小球 3 个，号数为 n 的小球有 n 个，从袋中取一球，其号数记为随机变量 ，则 的数学期望 E = .16在直三棱柱 ABCA B C 中，ABBC ，BB 2， ABC90 ，E、F 分别为1 1AA 、C B 的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度为 .1三、解答题17（本题满分 10 分） 已知二项式 (2)(,1)naxRNn且（）若 ，展开式中含 项的系数为 960，求 的值；6na（）若展开式中各项系数和为 ，且 ，求展开式的所有二项式系数之和.1032n18 （本小题满分 12 分）为了研究某种细菌随时间 x 变化，繁殖
7、的个数，收集数据如下：天数 x/天 1 2 3 4 5 6繁殖个数 y/个 6 12 25 49 95 190- 4 -（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断： 与 y= 哪一个作为繁殖的个数 y 关于时间 x 变化的回归方程类型为最佳？yabx2Cx1e（给出判断即可，不必说明理由）其中 ；lniizy61iz（2）根据（1）的判断最佳结果及表中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程。参考公式： 12()niiiiixybab19. （本小题满分 12 分）学校举办的集体活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，
8、若闯关成功，分别获得 1 分、2 分、3 分的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择得到相应的分数，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部分数都归零，游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的概率分别为 ， ， ，选手选择继续闯关的概率均为 ，且各关之间闯342112关成功互不影响（I）求选手甲第一关闯关成功且所得分数为零的概率(II)设该学生所得总分数为 X,求 X 的分布列与数学期望 xyz621()iix61()iiixy61()iiixz3.5 6283 3.53 17.5 596.505 12.04- 5 -20 （本小题满分 12 分）如图，在 A
9、BC中，已知 ,45O在 AB上，且,32ABOC又 P平面 1,/2DO.（）求证： 平面 CD；（）求二面角 B的余弦值21. （本小题满分 12 分）已知 为圆 上一动点，圆心 关于 轴的对N21:4Cxy1Cy- 6 -称点为 ，点 分别是线段 上的点，且 .2C,MP12,CN2220,MPCNP（）求点 的轨迹方程；（）直线 与点 的轨迹 只有一个公共点 ，且点 在第二象限，过坐:lykxm标原点 且与 垂直的直线 与圆 相交于 两点，求 面积的取值范围.Oll28xy,ABPAB22（本小题满分 12 分）设 ， 。()lnafxx32()gx（）如果存在 x1， x20,2，使
10、得 g(x1) g(x2) M 成立，求满足上述条件的最大整数 M；（）如果对于任意的 s， t ，都有 f(s) g(t)成立，求实数 a 的取值范围12， 2- 7 -南昌二中 20172018 学年度下学期第二次考试高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：BDAAC ADACD CD二、填空题：13220； 14 ； 15 ； 168213n32三、解答题17.（） 的展开式通项为 ，令 ，得 ，6(2)ax62rrCax224690Ca解得 （）因为展开式中各项系数和为 ，所以 ,1031052()3n故 或 或 ，又因为 ，所以 ， ,10n52n2na7a所以展开式的所有二项式系数之
11、和为 .518 解(1)由散点图看出样本点分布在一条指数函数 y= 的周围，于是选择 y=2Cx1e2Cx1e（2）令 Z=lny,则 Z=bXax 1 2 3 4 5 6Z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25由 ， 1.122612()iiiiixzb1.04.6875azbx得 ； 则有Z=0.68X.0.68x1.2y=e19【解析】 （）设甲“第一关闯关成功且所得分数为零”为事件 ， “第一关闯关成功第A二关闯关失败”为事件 ， “前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件 ，则 ， 互1A212斥， ， 132()=-=48PA（ ） 2311()=()=426PA
12、121()6（） 所有可能的取值为 0,1,3,6 X 3(0)(1+416XPA()- 8 -31()=428PX1(6)36所以， 的分布列为：X795=0+5=181E20解：（）设 ， 由 平面 ，知,2,1OAPBDA则 /,APOABC平面 .从而DA,BC2P在 中 为直角三角形，故P2又 ， 又 平面,45AABCO,ABC平面 ， 平面 OB,PP（）以 所在射线分别为 轴，建立,C,xyz直角坐标系如图则由（）知，,(2,0)(,)(0,2)(1)BPD1,0,3PDCB由（）知 平面 是平面 的一OCO个法向量，设平面 的法向量为 ，BC020(,),3nBxynxyzz
13、D令 ，则 ，1y,31,xz2cos, 1|PDn由图可知，二面角 的余弦值为BCO.21.（1）因为 ，所以 为 的中点，因为 ，所以 ，所22NP2N20MPCN2PCNX01 3 6P768- 9 -以点 在 的垂直平分线上，所以 ，M2CN2MNC因为 ，12164C所以点 在以 为焦点的椭圆上，,因为 ，所以 ，所以点 的轨迹方程为 .6,2ac2bM216xy（2）由 得， ，216xykm2231630kxkm因为直线 与椭圆 相切于点 ， :lkP所以 ，即 ，222226431610mk26mk解得 ，即点 的坐标为 ，22,kxy223,1k因为点 在第二象限，所以 ，所
14、以 ， P0,km6所以点 的坐标为 ，223,1设直线 与 垂直交于点 ，则 是点 到直线 的距离，lQPl设直线 的方程为 ，则l1yxk22131k，422213433kk261当且仅当 ，即 时， 有最大值 ，2kPQ所以 ，即 面积的取值范围为 .1434PABSAB0,4322解(1)存在 x1， x20,2，使得 g(x1) g(x2) M 成立，等价于 g(x1) g(x2)max M由 g(x) x3 x23，得 g( x)3 x22 x3 x 由 g( x)0，解得 0 x ；由(x23) 23g( x)0，解得 x0 或 x 又 x0,2，23所以 g(x)在区间 上单调
15、递减，在区间 上单调递增，0，23 23， 2- 10 -又 g(0)3， g(2)1，故 g(x)max g(2)1， g(x)min g (23) 8527所以 g(x1) g(x2)max g(x)max g(x)min1 M，8527 11227则满足条件的最大整数 M4(2)对于任意的 s， t ，都有 f(s) g(t)成立，等价于在区间 上，12， 2 12， 2函数 f(x)min g(x)max由(1)可知在区间 上， g(x)的最大值为 g(2)112， 2在区间 上， f(x) xln x1 恒成立等价于 a x x2ln x 恒成立12， 2 ax设 h(x) x x2ln x， x ，则 h( x)12 xln x x，12， 2易知 h( x)在区间 上是减函数，又 h(1)0，所以当 1 x2 时， h( x)0；12， 2当 x1 时， h( x)0所以函数 h(x) x x2ln x 在区间 上单调递增，在区间12 12， 11,2上单调递减，所以 h(x)max h(1)1，所以实数 a 的取值范围是1，)
