1、1课时达标检测(三十） 等比数列及其前 n 项和练基础小题强化运算能力1(2018湖北华师一附中月考)在等比数列 an中， a2a3a48， a78，则a1_.解析：因为数列 an是等比数列，所以 a2a3a4 a 8，所以 a32，所以3a7 a3q42 q48，所以 q22，则 a1 1.a3q2答案：12(2018苏州期初)已知等比数列 an的公比大于 1，若 a5 a115， a4 a26，则a3_.解析：设等比数列 an的公比为 q，由题意知Error!解得Error!或Error!(舍去)，故a3 a1q212 24.答案：43等比数列 an中，已知对任意正整数 n， a1 a2
2、a3 an2 n1，则 a a a21 2 a _.23 2n解析：由题知 a11，公比 q2，故数列 a 是首项为 1，公比为 4 的等比数列，2n故 a a a a (4n1)21 2 23 2n1 1 4n1 4 13答案： (4n1)134(2018徐州质检)设 Sn是等比数列 an的前 n 项的和，若 a52 a100，则_.S20S10解析：设等比数列 an的公比为 q，则由 a52 a100，得 q5 ，所以 12 S20S101 q101 .a1 1 q201 qa1 1 q101 q 14 54答案：545设 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若 3，则 _.S4S2 S6
3、S4解析：设 S2 k， S43 k，由数列 an为等比数列，得 S2， S4 S2， S6 S4为等比数列， S2 k， S4 S22 k， S6 S44 k， S67 k， .S6S4 7k3k 732答案：73练常考题点检验高考能力一、填空题1在各项均为正数的等比数列 an中， a13， a9 a2a3a4，则公比 q 的值为_解析：由 a9 a2a3a4得 a1q8 a q6，所以 q2 a ，因为等比数列 an的各项都为正数，31 21所以 q a13.答案：32(2018杭州质检)在等比数列 an中， a5a113， a3 a134，则 _.a15a5解析：根据等比数列的性质得Er
4、ror!化简得 3q2010 q1030，解得 q103 或 ，所以13 q103 或 .a15a5 a5q10a5 13答案：3 或133(2018徐州模拟)已知 an为等比数列， a4 a72， a5a68，则a1 a10_.解析：设等比数列 an的公比为 q，由Error!解得Error!或Error!所以Error!或Error!所以 a1 a10 a1(1 q9)7.答案：74(2018泰州高三期初)在数列 an中， a12 101，且当 2 n100 时，an2 a102 n32 n恒成立，则数列 an的前 100 项和 S100_.解析：因为当 2 n100 时， an2 a10
5、2 n32 n，所以 a22 a10032 2， a32 a9932 3，a42 a9832 4， a1002 a232 100.各式相加得 3(a2 a3 a4 a100)3(2 22 32 42 100)，即S100 a12 1014，又因为 a12 101，所以 S1004.答案：45(2018福州质检)已知等比数列 an的前 n 项积记为 n，若 a3a4a88，则 9_.解析：由题意知， a3a4a7q a3a7(a4q) a3a7a5 a 8， 9 a1a2a3a9( a1a9)(a2a8)35(a3a7)(a4a6)a5 a ，所以 98 3512.95答案：5126(2018镇
6、江模拟)已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若存在 mN *，满足39， ，则数列 an的公比为_S2mSm a2mam 5m 1m 1解析：设公比为 q，若 q1，则 2，与题中条件矛盾，故 q1. S2mSm S2mSm qm19， qm8. qm8 ， m3， q38，a1 1 q2m1 qa1 1 qm1 q a2mam a1q2m 1a1qm 1 5m 1m 1 q2.答案：27(2017苏州高三月考)在正项等比数列 an中，若 a4 a32 a22 a16，则 a5 a6的最小值为_解析：设正项等比数列 an的公比为 q，则 q0， a10，由 a4 a32 a22 a16
7、得a1q2(1 q)2 a1(1 q)6，所以 a1 (q )6 1 q q2 2 2a5 a6 a1q4(1 q) 66q4q2 2 6 q2 2 2 4 q2 2 4q2 248，当且仅当 q2 时取等号. q2 2 4 q2 2 4答案：488(2018扬州高三期中)已知等比数列 an的各项均为正数，且满足 a1a94，则数列log 2an的前 9 项之和为_解析：因为等比数列 an的各项均为正数，所以其公比 q0， an0.记 bnlog 2an，则 bn1 bnlog 2an1 log 2anlog 2 log 2q.所以数列 bn为等an 1an差数列所以数列 bn的前 9 项的和
8、T9 log2a1a9 log249.9 b1 b92 9 log2a1 log2a92 92 92答案：99若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称该数列为“ m 积数列”若各项均为正数的等比数列 an是一个“2 019 积数列 ”，且 a11，则当其前 n 项的乘积取最大值时 n 的值为_解析：由题可知 a1a2a3a2 019 a2 019，故 a1a2a3a2 0181，所以 a1a2 018 a2a2 017 a10 09a1 0101.由于 an是各项均为正数的等比数列且 a11，所以公比 0 q1，所以 a1 0091,0 a1 0101，故当数列 an的前 n
9、 项的乘积取最大值时 n 的值为 1 009.4答案：1 00910(2018盐城模拟)在各项均为正数的等比数列 an中，已知 a2a416， a632，记 bn an an1 ，则数列 bn的前 5 项和 S5为_解析：设数列 an的公比为 q，由 a a2a416 得， a34，即 a1q24.又23a6 a1q532，解得 a11， q2，所以 an a1qn1 2 n1 ，则bn an an1 2 n1 2 n32 n1 ，所以数列 bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列，所以S5 93.3 1 251 2答案：93二、解答题11设数列 an的前 n 项和为 Sn， a11，且数列
10、Sn是以 2 为公比的等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)求 a1 a3 a2n1 .解：(1) S1 a11，且数列 Sn是以 2 为公比的等比数列， Sn2 n1 .又当 n2 时， an Sn Sn1 2 n1 2 n2 2 n2 .当 n1 时 a11，不适合上式 anError!(2)a3， a5， a2n1 是以 2 为首项，4 为公比的等比数列， a3 a5 a2n1 .2 1 4n1 4 2 4n 13 a1 a3 a2n1 1 .2 4n 13 22n 1 1312已知数列 an满足 a15， a25， an1 an6 an1 (n2)(1)求证： an1 2 an是
11、等比数列；(2)求数列 an的通项公式解：(1)证明： an1 an6 an1 (n2)， an1 2 an3 an6 an1 3( an2 an1 )(n2) a15， a25， a22 a115， an2 an1 0( n2)， 3( n2)，an 1 2anan 2an 1数列 an1 2 an是以 15 为首项，3 为公比的等比数列(2)由(1)得 an1 2 an153 n1 53 n，则 an1 2 an53 n，5 an1 3 n1 2( an3 n)又 a132， an3 n0， an3 n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 an3 n2(2) n1 ，即 an2(2) n1 3 n.
