1、1课时达标检测(三十五）空间点、直线、平面之间的位置关系练基础小题强化运算能力1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为_解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面答案：42设 P 表示一个点， a， b 表示两条直线， ， 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_ P a， P a ； a b P， b a ； a b， a ， P b， P b ； b， P ， P P b.答案：3若直线 a b，且直线 a平面 ，则直线 b 与平面 的位置关系是_解析：结合正方体模型可知 b 与 相交或 b 或 b 都有可能答案： b 与 相交或 b 或
2、b 4空间四边形两对角线的长分别为 6 和 8，所成的角为 45，连结各边中点所得四边形的面积是_解析：如图，已知空间四边形 ABCD，对角线 AC6， BD8，易证四边形 EFGH 为平行四边形， EFG 或 FGH 为 AC 与 BD 所成的角，大小为 45，故 S 四边形 EFGH34sin 456 .2答案：6 2练常考题点检验高考能力一、填空题1(2018泰州模拟)已知直线 a 和平面 ， ， l， a ， a ，且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是_解析：依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面答案：相交、平行或异面2已
3、知 a， b， c 为三条不重合的直线，已知下列结论：若 a b， a c，则b c；若 a b， a c，则 b c；若 a b， b c，则 a c.其中正确的个数为_解析：法一：在空间中，若 a b， a c，则 b， c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，正确2法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错，正确答案：13.如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为_解析：取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连结 C1D， AD，因为 C 是圆柱下底面弧 A
4、B 的中点，所以 AD BC，所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线 AC1与 BC 所成角，因为 C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以 C1D圆柱下底面，所以 C1D AD，因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，所以 C1D AD，2所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为 ，2所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 .2答案： 24.如图所示，设 E， F， G， H 依次是空间四边形 ABCD 边AB， BC， CD， DA 上除端点外的点， ， ，则下列结AEAB AHAD CFCB CGCD论中不正确的是_(填序号)当 时，四边形 EFGH 是平行四边形；当 时，
5、四边形 EFGH 是梯形；当 时，四边形 EFGH 一定不是平行四边形；当 时，四边形 EFGH 是梯形解析：由 ，得 EH BD 且 ，同理得 FG BD 且 ，当 时，AEAB AHAD EHBD FGBDEH FG 且 EH FG.当 时， EH FG，但 EH FG，只有错误答案：5过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，这样的直线 l 可以作_条3解析：如图，连结体对角线 AC1，显然 AC1与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 .联想正方体的其他体对角线，如2连结 BD1，则 BD1与
6、棱 BC， BA， BB1所成的角都相等， BB1 AA1， BC AD，体对角线 BD1与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，同理，体对角线 A1C， DB1也与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，过 A 点分别作BD1， A1C， DB1的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以作 4 条答案：46.如图， ABCD A1B1C1D1是长方体， O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列正确结论的序号是_ A， M， O 三点共线； A， M， O， A1共面； A， M， C， O 不共面； B， B1， O， M 共面解析：连结 A1C1， A
7、C，则 A1C1 AC，所以 A1， C1， C， A 四点共面，所以 A1C平面 ACC1A1，因为 M A1C，所以 M平面 ACC1A1，又M平面 AB1D1，所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，同理 O 在平面 ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以 A， M， O 三点共线，所以正确，错误易知 BB1与 OM 异面，则错误答案：7.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E， H 分别是边 AB， AD 的中点，点 F， G 分别是边 BC， CD 上的点，且 ，则下列说法正确的是_(填写所有正确说法的CFCB CGCD 23序号) EF 与 GH 平行；
8、 EF 与 GH 异面； EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上； EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上4解析：连结 EH， FG(图略)，依题意，可得 EH BD， FG BD，故 EH FG，所以E， F， G， H 共面因为 EH BD， FG BD，故 EH FG，所以 EFGH 是梯形， EF 与 GH 必相12 23交，设交点为 M.因为点 M 在 EF 上，故点 M 在平面 ACB 上同理，点 M 在平面 ACD 上，点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点，又 AC 是这两个平面的交线，所以点 M 一定在直线 AC上答案：8
9、如图为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB， CD， EF， GH 在原正方体中互为异面直线的有_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB， CD， EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD， EF 与 GH， AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交， CD 与 GH 相交， CD 与 EF 平行故互为异面直线的有 3 对答案：39已知 a， b， c 为三条不同的直线，且 a平面 ， b平面 ， c.若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交；若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直；若 a b，则必有 a c；
10、若 a b， a c，则必有 .其中正确的命题有_(填写所有正确命题的序号)解析：中若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交，故正确；中平面 平面 时，若 b c，则 b平面 ，此时不论 a， c 是否垂直，均有 a b，故错误；中当 a b 时，则 a平面 ，由线面平行的性质定理可得 a c，故正确；中若 b c，则 a b， a c 时， a 与平面 不一定垂直，此时平面 与平面 也不一定垂直，故错误答案：10.如图，在三棱锥 ABCD 中， AB AC BD CD3， AD BC2，点 M， N 分别为 AD， BC 的中点，则异面直线 AN， CM 所成的角的
11、余弦值是_解析：如图所示，连结 DN，取线段 DN 的中点 K，连结MK， CK. M 为 AD 的中点， MK AN， KMC(或其补角)为异面直线5AN， CM 所成的角 AB AC BD CD3， AD BC2， N 为 BC 的中点，由勾股定理易求得AN DN CM2 ， MK .在 Rt CKN 中， CK .在 CKM 中，由余弦定2 2 22 12 3理，得 cos KMC ，所以异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是 .22 222 322222 78 78答案：78二、解答题11.如图所示， A 是 BCD 所在平面外的一点， E， F 分别是BC， AD 的中点(1)求
12、证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2)若 AC BD， AC BD，求 EF 与 BD 所成的角解：(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即AD 与 BC 共面，所以 A， B， C， D 在同一平面内，这与 A 是 BCD 所在平面外的一点相矛盾故直线 EF 与 BD 是异面直线(2)如图，取 CD 的中点 G，连结 EG， FG，则 AC FG， EG BD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角又因为 AC BD，则 FG EG.在 Rt EGF 中，由 EG FG AC，求得
13、FEG45，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为1245.12如图，在三棱锥 PABC 中， PA底面 ABC， D 是 PC 的中点已知 BAC ， AB2， AC2 ， PA2.求： 2 3(1)三棱锥 PABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值6解：(1) S ABC 22 2 ，三棱锥 PABC 的体积为 V S12 3 3 13ABCPA 2 2 .13 3 433(2)如图，取 PB 的中点 E，连结 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角在 ADE 中， DE2， AE ， AD2，cos ADE .222 22 2222 34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .34
