1、1课时达标检测(四十四）抛物线练基础小题强化运算能力1设抛物线 y212 x上一点 P到 y轴的距离是 1，则点 P到该抛物线焦点的距离是_解析：依题意，点 P到该抛物线的焦点的距离等于点 P到其准线 x3 的距离，即等于314.答案：42若抛物线 y22 x上一点 M到它的焦点 F的距离为 ， O为坐标原点，则 MFO的面32积为_解析：由题意知，抛物线的准线方程为 x .设 M(a， b)，由抛物线的定义可知，点12M到准线的距离为 ，所以 a1，代入抛物线方程 y22 x，解得 b ，所以 S MFO 32 2 12 .12 2 24答案：243设 F为抛物线 y22 x的焦点， A，
2、B， C为抛物线上三点，若 F为 ABC的重心，则| | | |的值为_FA FB FC 解析：依题意，设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)，又焦点 F ，所以(12， 0)x1 x2 x33 ，则12 32| | | | x3 ( x1 x2 x3) 3.FA FB FC (x1 12) (x2 12) 12 32 32 32答案：34直线 l过抛物线 x22 py(p0)的焦点，且与抛物线交于 A， B两点，若线段 AB的长是 6， AB的中点到 x轴的距离是 1，则此抛物线方程是_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| AB| y1 y2
3、 p2 p6， p4.即抛物线方程为 x28 y.答案： x28 y练常考题点检验高考能力一、填空题1抛物线 y22 px(p0)的准线截圆 x2 y22 y10 所得弦长为 2，则2p_.解析：抛物线 y22 px(p0)的准线为 x ，而圆化成标准方程为 x2( y1)p222，圆心 M(0,1)，半径 r ，圆心到准线的距离为 ，所以 2 2( )2，解得2p2 (p2) (22) 2p2.答案：22已知抛物线 C： y2 x的焦点为 F， A(x0， y0)是 C上一点，| AF| x0，则54x0_.解析：由题意知抛物线的准线为 x .因为| AF| x0，根据抛物线的定义可得 x0
4、14 54| AF| x0，解得 x01.14 54答案：13已知抛物线 y28 x的焦点为 F，直线 y k(x2)与此抛物线相交于 P， Q两点，则 _.1|FP| 1|FQ|解析：设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，由题意可知直线 y k(x2)过抛物线焦点(2,0)，所以| PF| x12，| QF| x22，则 .联立1|FP| 1|FQ| 1x1 2 1x2 2 x1 x2 4x1x2 2x1 x2 4直线与抛物线方程消去 y，得 k2x2(4 k28) x4 k20，可知 x1x24，故 1|FP| 1|FQ| .x1 x2 4x1x2 2x1 x2 4 x1 x2 4
5、2x1 x2 8 12答案：124设抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，点 M在 C上，| MF|5.若以 MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线 C的方程为_解析：由已知得抛物线的焦点 F ，设点 A(0,2)，抛物线上点 M(x0， y0)，则(p2， 0) ， .由已知得， 0，即 y 8 y0160，因AF (p2， 2) AM (y202p， y0 2) AF AM 20而 y04， M .由| MF|5 得， 5，又 p0，解得 p2 或 p8，所以抛物线 C的(8p， 4) 8p p2方程为 y24 x或 y216 x.答案： y24 x或 y216 x5(2018长
6、春模拟)过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F且倾斜角为3120的直线 l与抛物线在第一、四象限分别交于 A， B两点，则 的值等于_|AF|BF|解析：记抛物线 y22 px的准线为 l，如图，作 AA1 l， BB1 l， AC BB1，垂足分别是 A1， B1， C，则有 cos ABB1 ，即 cos 60|BC|AB| |BB1| |AA1|AF| |BF| |BF| |AF|AF| |BF| ，由此得 .|BF| |AF|AF| |BF| 12 |AF|BF| 13答案：136(2017天津高考)设抛物线 y24 x的焦点为 F，准线为 l.已知点 C在 l上，以 C为圆心的圆与
7、 y轴的正半轴相切于点 A.若 FAC120，则圆的方程为_解析：由题意知该圆的半径为 1，设圆心坐标为 C(1， a)(a0)，则 A(0， a)又 F(1,0)，所以 (1,0)， (1， a)，AC AF 由题意得 与 的夹角为 120，AC AF 故 cos 120 ，解得 a ， 111 a2 12 3所以圆的方程为( x1) 2( y )21.3答案：( x1) 2( y )2137(2017全国卷改编)过抛物线 C： y24 x的焦点 F，且斜率为 的直线交 C于点3M(M在 x轴的上方)， l为 C的准线，点 N在 l上且 MN l，则 M到直线 NF的距离为_解析：法一：由题
8、意，得 F(1,0)，则直线 FM的方程是 y (x1)3由Error!得 x 或 x3.13由 M在 x轴的上方，得 M(3,2 )，3由 MN l，得| MN| MF|314.又 NMF等于直线 FM的倾斜角，即 NMF60，因此 MNF是边长为 4的等边三角形，所以点 M到直线 NF的距离为 4 2 .32 3法二：依题意，得直线 FM的倾斜角为 60，则| MN| MF| 4.21 cos 604又 NMF等于直线 FM的倾斜角，即 NMF60，因此 MNF是边长为 4的等边三角形，所以点 M到直线 NF的距离为 4 2 .32 3答案：2 38(2018邢台模拟)已知抛物线 x24
9、y上有一条长为 6的动弦 AB，则 AB的中点到x轴的最短距离为_解析：由题意知，抛物线的准线 l： y1，过 A作 AA1 l于A1，过 B作 BB1 l于 B1，设弦 AB的中点为 M，过 M作 MM1 l于 M1.则|MM1| .|AB| AF| BF|(F为抛物线的焦点)，即|AA1| |BB1|2|AF| BF|6，则| AA1| BB1|6，即 2|MM1|6，所以| MM1|3，故 M到 x轴的最短距离为 312.答案：29(2018镇江质检)已知 F是抛物线 y24 x的焦点， A， B是抛物线上两点，若AFB是正三角形，则 AFB的边长为_解析：由题意可知 A， B两点一定关
10、于 x轴对称，且 AF， BF与 x轴夹角均为 30，由于 y24 x的焦点为(1,0)，由Error!化简得 y24 y40，解得 y2 4 或3 3y2 4，所以 AFB的边长为 84 或 84 .3 3 3答案：84 或 843 310经过抛物线 C的焦点 F作直线 l与抛物线 C交于 A， B两点，如果 A， B在抛物线C的准线上的射影分别为 A1， B1，那么 A1FB1_.解析：由抛物线定义可知| BF| BB1|，| AF| AA1|，故 BFB1 BB1F， AFA1 AA1F.又 OFB1 BB1F， OFA1 AA1F，故 BFB1 OFB1， AFA1 OFA1，所以 O
11、FA1 OFB1 ，即 A1FB1 .12 2 2答案：2二、解答题11已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， A是抛物线上横坐标为 4，且位于 x轴上方的点， A到抛物线准线的距离等于 5，过 A作 AB垂直于 y轴，垂足为 B， OB的中点为 M.(1)求抛物线的方程；(2)若过 M作 MN FA，垂足为 N，求点 N的坐标解：(1)抛物线 y22 px的准线为 x ，于是 4 5， p2，抛物线方程为p2 p2y24 x.5(2)由(1)知点 A的坐标是(4,4)，由题意得 B(0,4)， M(0,2)又 F(1,0)， kFA . MN FA， kMN .43 34 FA的方程
12、为 y (x1)， MN的方程为 y x2，43 34联立Error!解方程组得 x ， y ，85 45点 N的坐标为 .(85， 45)12.如图，已知抛物线 C： y22 px(p0)，焦点为 F，过点 G(p,0)作直线 l交抛物线C于 A， M两点，设 A(x1， y1)， M(x2， y2)(1)若 y1y28，求抛物线 C的方程；(2)若直线 AF与 x轴不垂直，直线 AF交抛物线 C于另一点 B，直线 BG交抛物线 C于另一点 N.求证：直线 AB与直线 MN斜率之比为定值解：(1)设直线 AM的方程为 x my p，代入 y22 px得 y22 mpy2 p20，则 y1y22 p28，得 p2.抛物线 C的方程为 y24 x.(2)证明：设 B(x3， y3)， N(x4， y4)由(1)可知 y3y42 p2， y1y3 p2.又直线 AB的斜率 kAB ，y3 y1x3 x1 2py1 y3直线 MN的斜率 kMN ，y4 y2x4 x2 2py2 y4 2.kABkMN y2 y4y1 y3 2p2y1 2p2y3y1 y3 2p2y1y3y1 y3y1 y3故直线 AB与直线 MN斜率之比为定值
