1、1课时达标检测(四十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题一、全员必做题1已知椭圆 E： 1( a b0)的一个焦点为 F2(1,0)，且该椭圆过定点 Mx2a2 y2b2.(1，22)(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设点 Q(2,0)，过点 F2作直线 l 与椭圆 E 交于 A， B 两点，且 ， 2，1，以 QA， QB 为邻边作平行四边形 QACB，求对角线 QC 长度F2A F2B 的最小值解：(1)由题易知 c1， 1，1a2 12b2又 a2 b2 c2，解得 b21， a22，故椭圆 E 的标准方程为 y21.x22(2)设直线 l： x ky1，由Error!得( k22)
2、y22 ky10， 4 k24( k22)8( k21)0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则可得 y1 y2 ， y1y2 . 2kk2 2 1k2 2 ( x1 x24， y1 y2)QC QA QB ，(4k2 1k2 2， 2kk2 2)| |2| |216 ，由此可知， | |2的大小与 k2QC QA QB 28k2 2 8k2 22 QC 的取值有关由 可得 y1 y 2， ， (y1y20)F2A F2B y1y2 1 y2y1从而 ，1 y1y2 y2y1 y1 y22 2y1y2y1y2 6k2 4k2 2由 2，1得 ，从而 2，解得 0 k2( 1 ) 5
3、2， 2 52 6k2 4k2 2.272令 t ，则 t ，| |28 t228 t168 2 ，当 t 时，1k2 2 716， 12 QC (t 74) 172 12|QC|min2.2已知椭圆 C： 1( ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点x2a2 y2b2构成正三角形(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 x3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C于点 P， Q.证明： OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)解：(1)由已知可得Error!解得 a26， b22，所以椭圆 C 的标准方程是 1.x26 y22
4、(2)证明：由(1)可得， F 的坐标是(2,0)，设 T 点的坐标为(3， m)，则直线 TF 的斜率 kTF m.m 0 3 2当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ ，直线 PQ 的方程是 x my2.1m当 m0 时，直线 PQ 的方程是 x2，也符合 x my2 的形式设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得Error!消去 x，得( m23) y24 my20，其判别式 16 m28( m23)0.所以 y1 y2 ， y1y2 ，4mm2 3 2m2 3x1 x2 m(y1 y2)4 . 12m2 3所以 PQ 的中点 M 的
5、坐标为 ，( 6m2 3， 2mm2 3)所以直线 OM 的斜率 kOM .m3又直线 OT 的斜率 kOT ，m3所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ.3(2018南通模拟)已知中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆 C，其上一点 P 到两个焦点 F1， F2的距离之和为 4，离心率为 .323(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 y kx1 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 OAB 面积的取值范围解：(1)设椭圆的标准方程为 1( a b0)，y2a2 x2b2由条件知，Error!解得 a2， c ， b1，3故椭圆 C 的方程为 x21.y24(2)设 A(x1，
6、 y1)， B(x2， y2)，由Error!得( k24) x22 kx30，故 x1 x2 ， x1x2 ，2kk2 4 3k2 4设 OAB 的面积为 S，由 x1x2 0，知 S 1|x1 x2|3k2 4 122 ，12x1 x22 4x1x2 k2 3k2 42令 k23 t，知 t3， S2 .1t 1t 2对函数 y t (t3)，知 y1 0，1t 1t2 t2 1t2 y t 在 t3，)上单调递增，1t t ，1t 1030 ，0 S .1t 1t 2 316 32故 OAB 面积的取值范围为 .(0，32二、重点选做题1(2018丹阳期初)过离心率为 的椭圆 C： 1(
7、 a b0)的右焦点 F(1,0)作22 x2a2 y2b2直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，设| FA| |FB|， T(2,0)(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 1 2，求 ABT 中 AB 边上中线长的取值范围解：(1) e ， c1， a ， b1，22 24即椭圆 C 的方程为： y21.x22(2)当直线的斜率为 0 时，显然不成立设直线 l： x my1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error!得( m22) y22 my10，则 y1 y2 ， y1y2 ， 2mm2 2 1m2 2由| FA| |FB|，得 y1 y 2， ，1 y1y2
8、y2y1 2 ，1 y1 y22y1y2 4m2m2 2 m2 ，27又 AB 边上的中线长为 | |12 TA TB 12x1 x2 42 y1 y22 4m4 9m2 4m2 22 .2m2 22 7m2 2 4 1， 132162(2018南京模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C： 1( ab0)的离心率为 ，点(2,1)在椭圆 C 上x2a2 y2b2 22(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 与圆 O： x2 y22 相切，与椭圆 C 相交于 P， Q 两点. 若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，求 OPQ 的面积；求证： OP OQ.解：(1)由题意，得 ，
9、 1，结合 a2 b2 c2，解得 a26， b23.ca 22 4a2 1b2所以椭圆的方程为 1.x26 y23(2)椭圆 C 的右焦点 F( ，0)3显然切线的斜率存在，设切线方程为 y k(x )，即 kx y k0，3 35所以 ，解得 k ，| 3k|k2 1 2 2所以切线方程为 y (x )2 3由方程组Error!解得Error!或Error!所以点 P， Q 的坐标分别为 ， ， ，(43 325 ， 6 65 )43 325 6 65所以| PQ| .665因为 O 到直线 PQ 的距离为 d ，所以 OPQ 的面积为 S |PQ|d 212 12 665 2. 635由
10、椭圆的对称性知，当切线方程为 y (x )时， OPQ 的面积也为 .2 3635综上所述， OPQ 的面积为 .635证明：()若直线 PQ 的斜率不存在，则直线 PQ 的方程为 x 或 x .2 2当 x 时， P( ， )， Q( ， )2 2 2 2 2因为 0，所以 OP OQ.OP OQ 当 x 时，同理可得 OP OQ.2()若直线 PQ 的斜率存在，设直线 PQ 的方程为 y kx m，即 kx y m0.因为直线与圆相切，所以 ，即 m22 k22.|m|1 k2 2将直线 PQ 的方程代入椭圆方程，得(12 k2)x24 kmx2 m260.设 P(x1， y1)， Q(x
11、2， y2)，则有 x1 x2 ， x1x2 .4km1 2k2 2m2 61 2k2因为 x1x2 y1y2 x1x2( kx1 m)(kx2 m)(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2OP OQ (1 k2) km m2.2m2 61 2k2 ( 4km1 2k2)将 m22 k22 代入上式可得 0，所以 OP OQ.OP OQ 综上所述， OP OQ.三、冲刺满分题1.已知椭圆 C： 1(0 b2)的离心率为 ，与坐标轴不x24 y2b2 32垂直且不过原点的直线 l1与椭圆 C 相交于不同的两点 A， B(如图所6示)，过 AB 的中点 M 作垂直于 l1的直线 l2，设 l
12、2与椭圆 C 相交于不同的两点 C， D，且 .CN 12CD (1)求椭圆 C 的方程；(2)设原点 O 到直线 l1的距离为 d，求 的最大值d|MN|解：(1)依题意得，Error!解得 b21，所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)设直线 l1： y kx m(k0， m0)，由Error!得(14 k2)x28 kmx4 m240，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!故 M .(4mk1 4k2， m1 4k2)l2： y ，m1 4k2 1k(x 4mk1 4k2)即 y x .由Error!1k 3m1 4k2得 x2 x 40，(14k2) 24m
13、k1 4k2 36m21 4k22设 C(x3， y3)， D(x4， y4)，则 x3 x4 ，24mk1 4k2k2 4故 N .( 12mk1 4k2k2 4， 3mk21 4k2k2 4)故| MN| xM xN| .1 1k2 4|m|k2 1k2 11 4k2k2 4又 d ，所以 .|m|1 k2 d|MN| 1 4k2k2 44k2 12令 t k21( t1)，则 1 2 (当且仅当 t2 时取等号)，d|MN| 4t2 9t 94t2 94t2 94t 94(1t 12) 2516 2516所以 的最大值为 .d|MN| 25162(2018苏州高三暑假测试)如图，已知椭圆
14、 O： y21 的x24右焦点为 F，点 B， C 分别是椭圆 O 的上、下顶点，点 P 是直线7l： y2 上的一个动点(与 y 轴交点除外)，直线 PC 交椭圆于另一点 M.(1)当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，求 FBM 的面积；(2)记直线 BM， BP 的斜率分别为 k1， k2，求证： k1k2为定值；求 的PB PM 取值范围解：(1)由题意 B(0,1)， C(0，1)，焦点 F( ，0)，3当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，则直线 PM 的方程为 1，即 y x1，x3 y 1 33联立，Error!解得Error! 或Error!(舍)，即 M .(837， 17
15、)连结 BF，则直线 BF： 1，即 x y 0，x3 y1 3 3而 BF a2，点 M 到直线 BF 的距离 d .|837 317 3|12 322372 37故 S MBF BFd 2 .12 12 37 37(2)设 P(m，2)，且 m0，则直线 PM 的斜率为 k ，则直线 PM 的方程为 y x1， 1 20 m 1m 1m联立Error!化简得 x2 x0，(14m2) 8m解得 M ，(8mm2 4， 4 m2m2 4)所以 k1 m， k2 ，4 m2m2 4 1 8mm2 4 2m2 8m 14 1 20 m 3m所以 k1k2 m 为定值3m 14 34由知， ( m,3)， m， 2 ，PB PM 8mm2 4 4 m2m2 4 ( m3 12mm2 4 ， m2 12m2 4)所以 ( m,3) ，PB PM ( m3 12mm2 4， m2 12m2 4) m4 15m2 36m2 4令 m24 t4，故 t 7，PB PM t 42 15t 4 36t t2 7t 8t 8t8因为 y t 7 在 t(4，)上单调递增，8t所以 t 74 79，即 的取值范围为(9，)PB PM 8t 84 PB PM
