1、1课时达标检测(四十三）双曲线练基础小题强化运算能力1已知双曲线 1( a0)的离心率为 2，则 a_.x2a2 y23解析：因为双曲线的方程为 1，所以 e21 4，因此 a21， a1.x2a2 y23 3a2答案：12若双曲线 1 的离心率为 ，则其渐近线方程为_x2a2 y2b2 3解析：在双曲线中离心率 e ，可得 ，故双曲线的渐近线方程ca 1 (ba)2 3 ba 2是 y x.2答案： y x23已知双曲线 C 的焦点坐标为(5,0)，(5,0)，离心率为 ，则双曲线 C 的标准方程54是_解析：因为所求双曲线的焦点为(5,0)，(5,0)，离心率为 ，所以54c5， a4，
2、b2 c2 a29，所以所求双曲线标准方程为 1.x216 y29答案： 1x216 y294(2018海安县高三质量测试)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，则该双曲线的离心率为_x2a2 y2b2 3解析：由题意 ， b23 a2，所以 c2 a2 b24 a2，所以 e 2.ba 3 ca2答案：25(2018南京学情调研)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： 1( a0)的x2a2 y24一条渐近线与直线 y2 x1 平行，则实数 a_.解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为 y x.因为一条渐近线与直线2ay2 x1 平行，所以
3、 2，解得 a1.2a答案：1 练常考题点检验高考能力一、填空题1已知 F 是双曲线 C： x2 1 的右焦点， P 是 C 的左支上一点， A(0,6 )当y28 6APF 周长最小时，该三角形的面积为_解析：设双曲线的左焦点为 F1，由双曲线方程 x2 1 可知， a1， c3，故y28F(3，0)， F1(3,0)当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知| PF| PF1|2，所以| PF| PF1|2，从而 APF 的周长为| AP| PF| AF| AP| PF1|2| AF|.因为| AF| 15 为定值，所以当(| AP| PF1|)最小时， APF 的周长最小，32 66
4、2由图象可知，此时点 P 在线段 AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线 AF1的方程为 y2 x6 ，由Error!得 y26 y960，解得 y2 或 y8 (舍去)，6 6 6 6 6所以 S APF S AF1F S PF1F 66 62 12 .12 6 12 6 6答案：12 62已知双曲线 C 的渐近线方程为 y2 x，且经过点(2,2)，则 C 的方程为_解析：由题意，设双曲线 C 的方程为 x2 ( 0)，因为双曲线 C 过点(2,2)，y24则 2 2 ，解得 3，所以双曲线 C 的方程为 x23，即 1.224 y24 x23 y2123答案： 1x23 y21
5、23设 F1， F2分别是双曲线 1 的左、右焦点，若双曲线上存在点 A，使x2a2 y2b2 F1AF290且| AF1|3| AF2|，则双曲线的离心率为_解析：因为 F1AF290，故| AF1|2| AF2|2| F1F2|24 c2，又| AF1|3| AF2|，且|AF1| AF2|2 a，所以| AF1|3 a，| AF2| a，则 10a24 c2，即 ，故 e (负c2a2 52 ca 102值舍去)答案：1024设双曲线 1( a0， b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1， A2，过 Fx2a2 y2b2作 A1A2的垂线与双曲线交于 B, C 两点若 A1B A2
6、C，则该双曲线的渐近线的斜率为_解析：由题设易知 A1( a,0)， A2(a,0)， B ， C . A1B A2C， (c，b2a) (c， b2a) b2ac a1，整理得 a b.渐近线方程为 y x，即 y x，渐近线的斜率为1. b2ac a ba答案：15(2018江南十校联考)已知 l 是双曲线 C： 1 的一条渐近线， P 是 l 上的x22 y24一点， F1， F2分别是 C 的左、右焦点，若 0，则点 P 到 x 轴的距离为PF1 PF2 _解析：由题意知 F1( ，0)， F2( ，0)，不妨设 l 的方程为 y x，点 P(x0， x0)，6 6 2 2由 ( x0
7、， x0)( x0， x0)3 x 60，得 x0 ，故点PF1 PF2 6 2 6 2 20 2P 到 x 轴的距离为 |x0|2.2答案：26已知双曲线 1 与直线 y2 x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为x2a2 y2b2_解析：双曲线的一条渐近线方程为 y x，则由题意得 2， e ba ba ca 1 (ba)2 .即双曲线离心率的取值范围为( ，)1 4 5 5答案：( ，)547已知双曲线 C： 1( a0， b0)与椭圆 1 有相同的焦点，且双曲线x2a2 y2b2 x29 y24C 的渐近线方程为 y2 x，则双曲线 C 的方程为_解析：易得椭圆的焦点为( ，0)，( ，
8、0)，Error! a21， b24，双曲线 C5 5的方程为 x2 1.y24答案： x2 1y248(2017江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y21 的右准线与它的两x23条渐近线分别交于点 P， Q，其焦点是 F1， F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是_解析：由题意得，双曲线的右准线 x 与两条渐近线 y x 的交点坐标为32 33.(32， 32)不妨设双曲线的左、右焦点分别为 F1， F2，则 F1(2,0)， F2(2,0)，故四边形 F1PF2Q 的面积是|F1F2|PQ| 4 2 .12 12 3 3答案：2 39设 F1， F2分别是双曲线 x2 1 的左
9、、右焦点， A 是双曲线上在第一象限内的点，y2b2若| AF2|2 且 F1AF245，延长 AF2交双曲线右支于点 B，则 F1AB 的面积等于_解析：由题意可得| AF2|2，| AF1|4，则| AB| AF2| BF2|2| BF2| BF1|.又 F1AF245，所以 ABF1是以 AF1为斜边的等腰直角三角形，则| AB| BF1|2 ，所2以其面积为 2 2 4.12 2 2答案：410已知点 F1， F2分别为双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点， P 为双曲线右x2a2 y2b2支上的任意一点，若 的最小值为 9a，则双曲线的离心率为_|PF1|2|PF2|解析：在双曲
10、线中， P 为右支上一点，则| PF1| PF2|2 a，则 | PF2| 4 a2 4 a 8a(当且仅当| PF2|2 a 时取等号)，|PF1|2|PF2| |PF2| 2a2|PF2| 4a2|PF2| 4a25因为已知 min9 a，故| PF2|2 a，在双曲线右支上点 P 满足| PF2|min c a，则(|PF1|2|PF2|)c a2 a，即 c3 a，故 e3，又由 9 a，所以 9 a，解得 e5 或|PF1|2|PF2| c a 2a2c ae2(舍)答案：5二、解答题11已知双曲线的中心在原点，焦点 F1， F2在坐标轴上，离心率为 ，且过点(4，2)点 M(3，
11、m)在双曲线上10(1)求双曲线的方程；(2)求证： 0；MF1 MF2 (3)求 F1MF2的面积解：(1) e ，双曲线的实轴、虚轴相等2则可设双曲线方程为 x2 y2 .双曲线过点(4， )，101610 ，即 6.双曲线方程为 1.x26 y26(2)证明：不妨设 F1， F2分别为左、右焦点，则 (2 3， m)，MF1 3(2 3， m)MF2 3 (32 )(32 ) m23 m2，MF1 MF2 3 3 M 点在双曲线上，9 m26，即 m230， 0.MF1 MF2 (3) F1MF2的底| F1F2|4 .3由(2)知 m .3 F1MF2的高 h| m| ， S F1MF
12、2 4 6.312 3 312中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 F1， F2，且| F1F2|2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为 4，离心率之比为 37.13(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos F1PF2的值6解：(1)由题知 c ，设椭圆方程为 1，双曲线方程为 1，则Error!13x2a2 y2b2 x2m2 y2n2解得 a7， m3.则 b6， n2.故椭圆方程为 1，双曲线方程为 1.x249 y236 x29 y24(2)不妨设 F1， F2分别为左、右焦点， P 是第一象限的一个交点，则|PF1| PF2|14，| PF1| PF2|6，所以| PF1|10，| PF2|4.又| F1F2|2 ，13所以 cos F1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| .102 42 21322104 45
