1、1课时达标检测(四十一）直线与圆、圆与圆的位置关系练基础小题强化运算能力1(2018淮安清江中学模拟)直线( a1) x( a1) y2 a0( aR)与圆x2 y22 x2 y70 的位置关系是_解析： x2 y22 x2 y70 化为圆的标准方程为( x1) 2( y1) 29，故圆心坐标为(1，1)，半径 r3，圆心到直线的距离 d .则|a 1 a 1 2a|a 12 a 12 |2a 2|2a2 2r2 d29 ，而 7a24 a70 的判别式4a2 8a 42a2 2 7a2 4a 7a2 1 161961800，即 7a24 a70 恒成立，故有 r2 d2，即 d r，故直线与
2、圆相交答案：相交2平行于直线 2x y10 且与圆 x2 y25 相切的直线的方程是_解析：所求直线与直线 2x y10 平行，设所求的直线方程为 2x y m0.所求直线与圆 x2 y25 相切， ， m5. 即所求的直线方程为|m|1 4 52x y50 或 2x y50.答案：2 x y50 或 2x y503(2018江都中学月考)过点(2,3)的直线 l 与圆 x2 y22 x4 y0 相交于 A， B两点，则| AB|取得最小值时 l 的方程为_解析：由题意得圆的标准方程为( x1) 2( y2) 25，则圆心 C(1,2)过圆心与点(2,3)的直线 l1的斜率为 k 1.当直线
3、l 与 l1垂直时，| AB|取得最小值，3 2 2 1故直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 y3 x(2)，即 x y50.答案： x y504(2018常州期中)已知圆 O： x2 y21，圆 M：( x a)2( y a4) 21.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A， B，使得 APB60，则实数 a 的取值范围为_解析：连结 OP，要使得 APB60，则 OPA30，在直角三角形 OPA 中，OP2，所以必有以原点 O 为圆心，半径为 2 的圆与圆 M 有公共点，即 21 OM21,1 3，所以 2 a2 .a2 a 4222 22答案： 2
4、22， 2 22练常考题点检验高考能力2一、填空题1直线 y x4 与圆( x a)2( y3) 28 相切，则 a 的值为_解析：因为( x a)2( y3) 28 的圆心为( a,3)，半径为 2 ，所以由直线 y x42与圆( x a)2( y3) 28 相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以 2 ，|a 3 4|12 12 2即| a1|4，解得 a3 或5.答案：3 或52(2018盐城中学模拟)直线 l 与圆 x2 y22 x4 y a0( a3)相交于 A， B 两点，若弦 AB 的中点为(2,3)，则直线 l 的方程为_解析：设直线的斜率为 k，又弦 AB 的中点为(2,3)，
5、所以直线 l 的方程为kx y2 k30，由 x2 y22 x4 y a0 得圆的圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线的距离为 ，所以 ，解得 k1，所以直线 l 1 22 2 32 2| k 2 2k 3|k2 1 2的方程为 x y50.答案： x y503(2018如东中学月考)已知圆 O： x2 y24，点 M(1,0)是圆内定点，过 M 作两条互相垂直的直线与圆 O 交于 AB， CD，则弦长 AC 的取值范围是_解析：设 AC 的中点为 P(x， y)，则 OP AC，| PA| PM|， ，即 2 y2 ，则点 P 是以 为圆心， 为半径4 x2 y2 x 12 y2 (x12)
6、 74 (12， 0) 72的圆，| PM|max ，| PM|min ，7 12 7 12| AC|max 1，| AC|min 1，7 7故| AC|的取值范围为 1， 17 7答案： 1， 17 74(2018徐州中学期末)圆心在直线 x y40 上，且经过两圆 x2 y26 x40和 x2 y26 y280 的交点的圆的方程为_解析：设经过两圆的交点的圆的方程为 x2 y26 x4 (x2 y26 y28)0，即x2 y2 x y 0，其圆心坐标为 ，又圆心在直线61 61 4 281 ( 31 ， 31 )x y40 上，所以 40，解得 7，故所求圆的方程为31 31 x2 y2
7、x7 y320.答案： x2 y2 x7 y32035(2018温州期初)设圆 C：( x k)2( y2 k1) 21，则圆 C 的圆心的轨迹方程为_；若 k0，则直线 l：3 x y10 截圆 C 所得的弦长为_解析：由题可得，圆心 C(k,2k1)，令 x k， y2 k1，解得 y2 x1.所以圆 C 的圆心的轨迹方程为 y2 x1.因为 k0，所以 C： x2( y1) 21.所以圆心 C(0，1)到直线 l 的距离为 d ，所以弦长为 2 .|0 1 1|32 1 210 1 410 2155答案： y2 x1 21556已知圆 C1： x2 y24 ax4 a240 和圆 C2：
8、 x2 y22 by b210 只有一条公切线，若 a， bR 且 ab0，则 的最小值为_1a2 1b2解析：圆 C1的标准方程为( x2 a)2 y24，其圆心为(2 a，0)，半径为 2；圆 C2的标准方程为 x2( y b)21，其圆心为(0， b)，半径为 1.因为圆 C1和圆 C2只有一条公切线，所以圆 C1与圆 C2相内切，所以 21，得 4a2 b21，所以 2a 02 0 b2 (4a2 b2)5 52 9，当且仅当 ，且1a2 1b2 (1a2 1b2) b2a2 4a2b2 b2a24a2b2 b2a2 4a2b24a2 b21，即 a2 ， b2 时等号成立所以 的最小
9、值为 9.16 13 1a2 1b2答案：97已知圆 C 的圆心是直线 x y10 与 x 轴的交点，且圆 C 与圆( x2) 2( y3)28 相外切，则圆 C 的方程为_解析：由题意知圆心 C(1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离 d3 ，由两圆相外切2可得 R2 d3 ，即圆 C 的半径 R ，故圆 C 的标准方程为( x1) 2 y22.2 2 2答案：( x1) 2 y228圆 x2 y22 y30 被直线 x y k0 分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为 13，则 k_.解析：由题意知，圆的标准方程为 x2( y1) 24.较短弧所对圆心角是 90，所以圆心(0，1)到直
10、线 x y k0 的距离为 r .即 ，解得 k1 或3.22 2 |1 k|2 2答案：1 或39(2018苏北四市期末)已知 A， B 是圆 C1： x2 y21 上的动点， AB ， P 是圆3C2：( x3) 2( y4) 21 上的动点，则| |的取值范围为_PA PB 解析：因为 A， B 是圆 C1： x2 y21 上的动点， AB ，所以线段 AB 的中点 H 在圆3O： x2 y2 上，且| |2| |.因为点 P 是圆 C2：( x3) 2( y4) 21 上14 PA PB PH 4的动点，所以 5 | |5 ，即 | | ，所以 72| |13，从而32 PH 32 7
11、2 PH 132 PH | |的取值范围是7,13PA PB 答案：7,13 10过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C：( x3) 2( y4) 225 交于 A， B 两点， C 为圆心，当 ACB 最小时，直线 l 的方程是_解析：由题意知，当 ACB 最小时，圆心 C(3,4)到直线 l 的距离达到最大，此时直线l 与直线 CM 垂直，又直线 CM 的斜率为 1，所以直线 l 的斜率为 1，因此所求4 23 1 11的直线 l 的方程是 y2( x1)，即 x y30.答案： x y30二、解答题11(2018河南中原名校联考)已知圆 C 的方程为 x2( y4) 21，直线 l 的方
12、程为2x y0，点 P 在直线 l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PA， PB，切点为 A， B.(1)若 APB60，求点 P 的坐标；(2)求证：经过 A， P， C(其中点 C 为圆 C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标解：(1)由条件可得圆 C 的圆心坐标为(0,4)， PC2，设 P(a，2 a)，则2，解得 a2 或 a ，所以点 P 的坐标为 (2,4)或 .a2 2a 4265 (65， 125)(2)证明：设 P(b,2b)，过点 A， P， C 的圆即是以 PC 为直径的圆，其方程为 x(x b)( y4)( y2 b)0，整理得 x2 y2 bx4 y2
13、 by8 b0，即( x2 y24 y) b(x2 y8)0.由Error!得Error!或Error!该圆必经过定点(0,4)和 .(85， 165)12(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆M： x2 y212 x14 y600 及其上一点 A(2,4)(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B， C 两点，且 BC OA，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t,0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 ，求实数 t 的TA TP
14、TQ 5取值范围解：圆 M 的标准方程为( x6) 2( y7) 225，所以圆心 M(6,7)，半径为 5.(1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6， y0)因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 0 y07，圆 N 的半径为 y0，从而 7 y05 y0，解得 y01.因此，圆 N 的标准方程为( x6) 2( y1) 21.(2)因为直线 l OA，所以直线 l 的斜率为 2.4 02 0设直线 l 的方程为 y2 x m，即 2x y m0，则圆心 M 到直线 l 的距离d .|26 7 m|5 |m 5|5因为 BC OA 2 ，22 42 5而 MC2 d2 2，
15、(BC2)所以 25 5，解得 m5 或 m15.m 525故直线 l 的方程为 2x y50 或 2x y150.(3)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)因为 A(2,4)， T(t,0)， ，TA TP TQ 所以Error! 因为点 Q 在圆 M 上，所以( x26) 2( y27) 225.将代入，得( x1 t4) 2( y13) 225.于是点 P(x1， y1)既在圆 M 上，又在圆 x( t4) 2( y3) 225 上，从而圆( x6)2( y7) 225 与圆 x( t4) 2( y3) 225 有公共点，所以 55 55，t 4 62 3 72解得 22 t22 .21 216因此，实数 t 的取值范围是22 ，22 21 21
