1、1课时达标检测(十四） 导数的概念及导数的运算练基础小题强化运算能力1(2018镇江调研)函数 f(x)( x1) 2(x1)在 x1 处的导数等于_解析： f(x)( x1) 2(x1) x3 x2 x1， f( x)3 x22 x1， f(1)3214.答案：42(2017苏州暑假测试)曲线 y2 x在 x0 处的切线方程是_解析：因为 y2 xln 2，所以在 x0 处的切线斜率为 k2 0ln 2ln 2，因此切线方程是 y1ln 2( x0)，即 y xln 21.答案： y xln 213已知直线 y x1 是函数 f(x) ex图象的切线，则实数 a_.1a解析：设切点为( x0
2、， y0) f ( x) ex，则 f ( x0) ex01，e 1a 1ax0 a，又 e x0 x01， x02， ae 2.1a答案：e 24(2018无锡期末)过曲线 y x (x0)上一点 P(x0， y0)处的切线分别与 x轴、 y1x轴交于点 A， B， O是坐标原点，若 OAB的面积为 ，则 x0_.13解析： y1 ， y x x01 ，1x2 1x20 AB： y y0 (x x0)(11x20)又 y0 x0 ， y x0 (x x0)1x0 1x0 (1 1x20)令 x0 得 y ；2x0令 y0 得 x ，2x01 x20 S OAB ，解得 x (负值舍去)12
3、2x0 2x01 x20 13 5答案： 55(2018常州月考)设点 P为函数 f(x) 图象上任一点，且 f(x)在点 P处12(x3 1x)2的切线的倾斜角为 ，则 的取值范围为_解析：由 f(x) 得， f( x) 2 ，即 tan 12(x3 1x) 12(3x2 1x2) 12 3 3 ( 0，)，解得 .33 2答案： 3， 2)练常考题点检验高考能力一、填空题1(2018扬州期初测试)若以数列 an中的各项 an作为系数，构成一个函数系y anx3，其图象在 x1 处的切线的斜率为 4an1 1( n2)，且 a1 ，则 an_.43解析：由 y anx3，得 y3 anx2，
4、故当 x1 时，切线的斜率 k3 an，从而 3an 4an1 1( n2)，于是 3an34 an1 4( n2)，故 (n2)，又 a1 ，所以an 1an 1 1 43 43a11 ，所以数列 an1是以 为首项， 为公比的等比数列，故 an1 n1 ，从13 13 43 13 (43)而 an 1.4n 13n答案： 14n 13n2(2018泰州模拟)已知曲线 C： f(x) x3 ax a，若过曲线 C外一点 A(1,0)引曲线 C的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a的值为_解析：设切点坐标为( t， t3 at a)由题意知， f( x)3 x2 a，切线的斜率k f( t)3
5、t2 a ，所以切线方程为 y( t3 at a)(3 t2 a)(x t) .将点A(1，0)代入式得( t3 at a)(3 t2 a)(1 t)，解得 t0 或 t .分别将 t0 和32t 代入式，得 k a和 k a，由题意得它们互为相反数，故 a a0，解32 274 274得 a .278答案：2783(2018太仓高级中学模拟)若点 P， Q分别是曲线 y 与直线 4x y0 上的动x 4x点，则线段 PQ长的最小值为_解析：易知曲线 y 与直线 4x y0 无公共点，设直线 4x y m与 y 相切，x 4x x 4x3P为切点对 y 求导得 y ，由 4 得 x1，因此 P
6、(1,5)或x 4x 4x2 4x2P(1，3)，解得 m9 或 m7，此时两直线 4x y m,4x y0 间的距离分别为 ，917，故线段 PQ长的最小值为 .717 71717答案：717174(2018淮安月考)给出定义：若函数 f(x)在 D上可导，即 f ( x)存在，且导函数f ( x)在 D上也可导，则称 f(x)在 D上存在二阶导函数，记 f( x)( f( x)，若f( x)0 在 D上恒成立，则称 f(x)在 D上为凸函数以下四个函数在 上为凸函数(0，2)的是_(填序号) f(x)sin xcos x； f(x)ln x2 x； f(x) x32 x1； f(x) xe
7、x.解析：在定义域 内，由 f( x)sin xcos x0，得是凸函数；由(0，2)f( x) 0，得是凸函数；由 f( x)6 x0，得是凸函数；由 f( x)1x22e x xex0，得不是凸函数答案：5(2018重庆诊断)已知函数 f(x) sin x，其导函数为 f( x)，则 f(2 2ex 1019) f(2 019) f(2 019) f(2 019)的值为_解析： f(x) sin x， f( x) cos x， f(x) f( x)2ex 1 2ex ex 1 2sin x sin( x)2， f( x) f( x) cos x2ex 1 2e x 1 2ex ex 1 2
8、cos( x)0，2e x e x 1 2 f(2 019) f(2 019) f(2 019) f(2 019)2.答案：26(2018宿迁期初测试)若直线 l与曲线 C满足下列两个条件：()直线 l在点P(x0， y0)处与曲线 C相切；()曲线 C在点 P附近位于直线 l的两侧，则称直线 l在点 P处“切过”曲线 C，下列四个命题：直线 l： y0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y x3；直线 l： y x1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C： yln x；4直线 l： y x 在点 P(，0)处“切过”曲线 C： ysin x；直线 l： y x1 在点 P(0,1)处“
9、切过”曲线 C： ye x.其中正确的命题有_(填序号)解析：对于， y x3在点 P(0,0)处的切线为 y0，且曲线 y x3在(0,0)附近位于直线 y0 两侧，符合题中两个条件，所以正确；对于，曲线 C： yln x在直线l： y x1 的同侧，不符合题意，所以错误；对于，由图象可知，曲线 C： ysin x在点 P(，0)附近位于直线 l的两侧，符合题意，所以正确；对于，曲线 C： ye x在直线l： y x1 的同侧，不符合题意，所以错误即正确的有.答案：7(2018启东中学月考)若曲线 y aln x与曲线 y 在它们的公共点 P(s， t)处具x22e有公切线，则 _.ts解析
10、：函数 y aln x的导函数为 y ，其切线在 P(s， t)处的斜率为 k1 .函数ax asy 的导函数为 y ，其切线在 P(s， t)处的斜率为 k2 .由曲线 y aln x与曲线x22e xe sey 在它们的公共点 P(s， t)处具有公切线，可得 ，且 t aln s， s0，所以x22e as se s22eln s ，所以 s2e，所以 t ， s ，即 .12 12 e ts e2e答案：e2e8(2018无锡期初测试)曲边梯形由曲线 y x21， y0， x1， x2 所围成，过曲线 y x21， x1,2上一点 P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通
11、梯形，则这一点的坐标为_解析：设 P(x0， x 1)， x1,2，则易知曲线 y x21 在点 P处的切线方程为20y( x 1)2 x0(x x0)，令 y2 x0(x x0) x 1 g(x)，由 g(1) g(2)2( x 1)20 20 202 x0(1 x02 x0)，得 S 普通梯形 1 x 3 x01 2 ，g 1 g 22 20 (x0 32) 134所以当 P点坐标为 时， S 普通梯形 最大(32， 134)答案： (32， 134)9若曲线 f(x) ax3ln x存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是_5解析：由题意，可知 f( x)3 ax2 ，又曲线存在垂
12、直于 y轴的切线，所以1x3ax2 0，即 a (x0)，故 a(，0)1x 13x3答案：(，0)10(2018南通调研)在平面直角坐标系 xOy中，直线 l与曲线 y x2(x0)和y x3(x0)均相切，切点分别为 A(x1， y1)和 B(x2， y2)，则 的值是_x1x2解析：由 y x2得 y2 x，切线方程为 y x 2 x1(x x1)，即 y2 x1x x .由21 21y x3得 y3 x2，切线方程为 y x 3 x (x x2)，即 y3 x x2 x ，32 2 2 32由Error! 得 .x1x2 43答案：43二、解答题11已知函数 f(x) x32 x23
13、x(xR)的图象为曲线 C.13(1)求过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得 f( x) x24 x3，则 f( x)( x2) 211，即过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线 C的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得1 k0 或 k1，故由1 x24 x30 或 x24 x31，得 x(，2 (1,3)2 ，)2 212(2018启东中学高三月考)已知函数 f(x) ax33 x26 ax11， g(x)3 x2
14、6 x12 和直线 m： y kx9，且 f(1)0.(1)求 a的值；(2)是否存在 k，使直线 m既是曲线 y f(x)的切线，又是曲线 y g(x)的切线？如果存在，求出 k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知得 f( x)3 ax26 x6 a，因为 f(1)0，3 a66 a0， a2.(2)存在由已知得，直线 m恒过定点(0,9)，若直线 m是曲线 y g(x)的切线，6则设切点为( x0,3x 6 x012)因为 g( x0)6 x06，20所以切线方程为 y(3 x 6 x012)(6 x06)( x x0)，20将(0,9)代入切线方程，解得 x01.当 x01 时，
15、 g(1)0，切线方程为y9；当 x01 时， g(1)12，切线方程为 y12 x9.由(1)知 f(x)2 x33 x212 x11，由 f( x)0 得6 x26 x120, 解得 x1 或 x2.在 x1 处， y f(x)的切线方程为 y18；在 x2 处， y f(x)的切线方程为y9.所以 y f(x)与 y g(x)的公切线是 y9.由 f( x)12 得6 x26 x1212，解得 x0 或 x1.在 x0 处， y f(x)的切线方程为 y12 x11；在 x1 处， y f(x)的切线方程为 y12 x10；所以 y f(x)与y g(x)的公切线不是 y12 x9.综上所述， y f(x)与 y g(x)的公切线是 y9，此时 k0.
