1、- 1 -高考数学三轮复习冲刺模拟试题 13导数的应用一、选择题1过点(0，1)且与曲线 y 在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为( )x 1x 1A2 x y10 B2 x y10C x2 y20 D x2 y20解析：因为 y 1 ，所以 y ，从而可知函数在 x3 处的导x 1x 1 2x 1 2（ x 1） 2数值为 ，故所求的直线的斜率是 2，直线方程为 y2 x1，即 2x y10.12答案：A2已知 g(x)为三次函数 f(x) x3 ax2 cx的导函数，则函数 g(x)与 f(x)的图象可a3能是( )解析：因为 f( x) ax22 ax c，所以函数 f( x)的对称
2、轴为 x1，故可排除B，C；由 A中 f( x)的图象知 c0，所以 f(x) x3 ax2 x2( x a)，因此三次函数 f(x)a3 a3x3 ax2 cx只有两个零点，而图象 A中 f(x)的图象与 x轴有三个交点，故排除 A.应选 D.a3答案：D3函数 y x2ln x的单调递减区间为( )12A(1，1 B(0，1C1，) D(0，)解析：由题意知，函数的定义域为(0，)，又由 y x 0，解得 00)， f( x) .2x 2x2 1x由 f( x)0 解得 x2.当 x(0，2)时， f( x)0， f(x)为增函数 x2 为 f(x)的极小值点答案：D5已知 a ln x对
3、任意 x ，2恒成立，则 a的最大值为( )1 xx 12A0 B1C2 D3解析：设 f(x) ln x，1 xx则 f( x) . x x 1x2 1x x 1x2当 x ，1)时， f( x)0，故函数 f(x)在(1，2上单调递增， f(x)min f(1)0， a0，即 a的最大值为 0.答案：A二、填空题6如果曲线 y x4 x在点 P处的切线垂直于直线 y x，那么点 P的坐标为13_解析：由 y4 x31，得当 y3 时，有 4x313，可解得 x1，此时 P点的坐标为(1，0)答案：(1，0)7设函数 f(x) x(ex1) x2，则函数 f(x)的单调增区间为_12- 3
4、-解析：因为 f(x) x(ex1) x2，12所以 f( x)e x1 xex x(e x1)( x1)令 f( x)0，即(e x1)( x1)0，解得 x(，1)或 x(0，)所以函数 f(x)的单调增区间为(，1和0，)答案：(，1和0，)8已知函数 f(x) ax3 bx2 cx，其导函数 y f( x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的是_当 x 时函数取得极小值；32 f(x)有两个极值点；当 x2 时函数取得极小值；当 x1 时函数取得极大值解析：从图象上可以看到：当 x(0，1)时， f( x)0；当 x(1，2)时， f( x)0，所以 f(
5、x)有两个极值点 1和 2，且当 x2 时函数取得极小值，当 x1 时函数取得极大值只有不正确答案：三、解答题9已知函数 f(x)ln(e x a)(a为常数)是 R上的奇函数(1)求 a的值；(2)讨论函数 y x22e x m的零点的个数ln xf（ x）解析：(1)因为 f(x)ln(e x a)是奇函数，所以 ln(e x a)ln(e x a)，所以(e x a)(ex a)1，所以 a(exe x a)0，所以 a0.(2)由已知得 x22e x m，ln xf（ x） ln xx- 4 -令 f1(x) ， f2(x) x22e x m，ln xx因为 f1( x) ，当 x(0
6、，e)时， f1( x)0，1 ln xx2所以 f1( x)在(0，e上为增函数；当 xe，)时， f1( x)0，所以 f1(x)在e，)上为减函数所以当 xe 时， f1(x)max f1(e) ，1e而 f2(x)( xe) 2 me 2，所以当 me 2 ，1e即 me2 时，所求函数零点的个数为 0；1e当 me 2 ，即 me 2 时，1e 1e所求函数零点的个数为 1；当 me 20，2（ x2 1）x所以 f(x)在(1，)上是增函数(2)f( x) (x0)，2x2 ax当 x1，e时，2 x2 a2 a，2e 2 a若 a2，则当 x1，e时， f( x)0，所以 f(x
7、)在1，e上是增函数，又 f(1)1，故函数 f(x)在1，e上的最小值为 1.若 a2e 2，则当 x1，e时， f( x)0，所以 f(x)在1，e上是减函数，又 f(e)e 2 a，所以 f(x)在1，e上的最小值为 e2 a.若 20，此时 f(x)是增函数a2又 f( ) ln ，a2 a2 a2 a2所以 f(x)在1，e上的最小值为 ln .a2 a2 a2综上可知，当 a2 时， f(x)在1，e上的最小值为 1；当 2n.则原不等式等价于 ，mn2（ mn 1）mn 1即 ln 0.mn2（ mn 1）mn 1设 h(x)ln x ，这个函数即为 a2 时的函数 f(x)，2（ x 1）x 1由(1)知这个函数在(1，)上是单调增函数，又 1，所以 h( )h(1)0，mn mn所以 ln 0，mn2（ mn 1）mn 1所以 .m nln m ln nm n2
