1、1第三章圆一、知识梳理(一)圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直
2、线距离都相等的一条直线。rddCBAO(二)点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；dr2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A（三）直线与圆的位置关系21、直线与圆相离 无交点；dr2、直线 与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；drd=rr d（四）圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；相交（图 3） 有两个交点 ；内切（图 4） 有一个交点 ；dr内含（图 5） 无交点 ；R周1rRd周2rRd周3rRd周4rRd周5rRd（五）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径
3、）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平 分弦所对的另一条弧3以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧 弧ABABCDEBCDACD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， OABCD弧 弧C OC DA BOE DCBA（六）圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定
4、理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ； ；AOBDEAB ； 弧 弧CFFEDC BAO（七）圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCA 24CBAO2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD D CBAO推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半 圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径或OAB90C 是直径90CCB AO推论 3：若三角形一边上的
5、中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中，ABCA 是直角三角形或 90CB AO注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。5（八）圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，O四边形 是内接四边形ABCD 180180EEDCBA（九）切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线NM AO（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线
6、的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。（十）切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。6即： 、 是的两条切线PAB 平分OPBAO（十一）圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 中，弦 、 相交于点 ，OABCDP PPO DCBA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一 半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 中，直径 ，OABD 2CEO EDCB A（3
7、）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是切线， 是割线OPAB 2C7D EC BPAO（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在 中， 、 是割线OPBE CD（十二 ）两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： 垂直平分 。12OAB即： 、 相交于 、 两点 垂直平分12OABBAO1 O2（十三）圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中， ；12RtOC221ABOC（2）外公切线长： 是半径之差； 内
8、公切线长： 是半径之和 。2CO2O1BA（十四）圆内正多边形的计算（1）正三角形:在 中 是正三角形，有关计算在 中进行：ABCRtBOD；:32ODB8DCB AO（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行， ：RtOAE:1:2EOECBA DO（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行， .RtB:1:32BABAO（十五）扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nRl（2）扇形面积公式： 236Sl S lBAO：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRlS2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图9=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积：
9、V周周周周周周周周 C1D1DCBA3 .圆锥侧面展开图（1） =S侧表 底 2Rr（2）圆锥的体积： 13VhB1RrC BAO二、题型、技巧归纳类型一 确定圆的条件 例 1 2010河北 如图，在 55 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A点 P B点 Q C点 R D点 M解析 B 圆心既在 AB 的中垂线上又在 BC 的中垂线上，由图可以看出圆心应该是点Q.归纳：过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心10即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线事实上，三条垂直平分线交于同一点例 2 如图，AB 是O 的弦，半径
10、OCAB 于 D 点，且 AB6 cm，OD4 cm，则 DC 的长为( )A5 cm B2.5 cm C2 cm D1 cm解析 D 连接 AO，因为 OCAB，所以 ADBD3 cm，因为 OD4 cm，在直角三角形 ADO 中，由勾股定理可以得到 AO5 cm，所以 OC5 cm，所以 DC1 cm.归纳：(1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到 弦的垂线段，如本例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆心到弦的距离、弦长等 数量的计算这些量之间的关系是 r2d 2 2(其中 r 为(a2)圆半径，d 为圆心到弦的距离，a 为弦长)类型三 圆心角、弧 、弦、弦心距之间的关系 例 3 如图，O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若A30，APD70，则B 等于( )A30 B35 C40 D50解析 C 由三角形的外角求得C40，所以BC40.类型四 圆心角与圆周角例 4 如图，点 A，B，C 在O 上，ABCO，B22，则A_.
