1、1第二章二次函数（2）一、知识梳理1利用二次函数求最值的问题(1)利润最大化体会利用二次函数求解最值的一般步骤利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤： 找出销售单价与利润之间的函数关系 式(注明范围)； 求出该二次函数图象的顶点坐标； 由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润” (2)产量最大化体会利用二次函数求解最值的几种方式产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是二次函数，可以 利用求二次函数的顶点处的函数值来解决也可以应用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值 注意 在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标来求最值；也可以运用“数形结合”的方法，
2、结合函数图象来判断求解最值；还可以利用列表的方法估计最值(3)与图形有关的最值问题直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两条边 ，因此，把这两条边分别用含 x 的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了 警示 在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时， 要注意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学易犯错的地方 2二次函数与一元二次方程的关系 2对于一元二次函数 yax 2bxc，只要令 y 等于某个具体的数 y0，就可以将函数转化成一元二次方程，这个方程的解是抛物线上纵坐标为 y0的点的横坐标特殊地，如果令 y 值为 0，所得方程为 ax2bxc0，该方程的解
3、是抛物线与 x 轴交点的横坐标若方程无解，则说明抛物线与 x 轴无交点二次函数的图象和 x 轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，可以总结如下：设 yax 2bxc(a0)，令 y0，得：ax 2bxc0.当 b24ac0 时，方程有两个不等实数根，二次函数的图象与 x 轴有 个交点；当 b24ac0 时，方程有两个相等实数根，二次函数的图象与 x 轴只有 个交点(即顶点)；当 b24ac0 时，方程没有实数根，二次函数的图象与 x 轴没有交点二、题型、技巧归纳类型一 一元二次方程与二次函数的关系例 1 抛物线 ykx 27x7 的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( )Ak
4、 Bk 且 k074 74Ck Dk 且 k074 74解析类型二 二次函数与图形面积 例 2 如图 X28，苗圃的形状是直角梯形 ABCD，ABDC，BCCD.其中 AB，AD 是已有的墙，BAD135，另外两边 BC 与 CD 的长度之和为 30 米，如果梯形的高 BC 为变量x(米)，梯形面积为 y(米 2)，问：当 x 取何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？解析 从题中已知梯形(除去一腰)的长和一个特殊角BAD135，这里可利用梯形面积公式等相关知识构造出函数解析式解：3类型三 二次函数与几何图形例 3 如图，在矩形 ABCD 中，ABm(m 是大于 0 的常数)，BC8，E 为线
5、段 BC 上的动点(不与 B，C 重合)连接 DE，作 EFDE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CEx，BFy.(1)求 y 关于 x 的函数关系式；(2)若 m8，求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？(3)若 y ，要使DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？12m解析 (1)设法证明 y 与 x 这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立 y 关于x 的函数关系式；( 2)将 m 的值代入(1)中的函数关系式，配方化成顶点式后求最值；(3)逆向思考 ，当DEF 是等腰三角形，因为 DEEF，所以只能是 EFED，再由(1)可得 RtBFE RtCED，从而求出 m 的值解
6、：方 法 技 巧在几何图形中建立函数关系式，体现了“数形结合”的数学思想，要注意运用“相似法” “面积法”与“勾股法”建立有关等式，从而转化为函数关系式这也是中考试卷中的常 见考点类型四 二次函数与生活应用例 4 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这 里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价 每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用 100 元设每吨材料售价 为 x
7、(元)，该经销店的月利润为y(元)(1)当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；(2)求出 y 与 x 的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对吗？请说明理由解析 当每吨材料售价为 x 元 时， 对应的销售量为 吨，由此就(45260 x10 7.5)可以列出函数解析式而对于当月利润最大时，月销售额也最大的问题时，我们只需注意4两者的区别就是一个减去成本，一个不减成本解：方 法 技 巧“每每型”二次函数模型成为近年考试的热点问题，其特点就是每下降，就每增加；或每增长，就每
8、减少解决这类问题的关键 就是找到单价提高后，该经销店每天售出的建筑材料的吨数，而等量关系为销售利润销售吨数每吨的利润典例精析：例 5 某跳水运 动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是一条经过原点 O 的抛物线(如图 X211 所示，图中标出的数据为已知条件)在跳某个规定动作时，正常情况下该运动员在空中的最高处距水面 10 m，入水距池边的距离为 4 m，同23时运动员在距水面高度为 5 m 之前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水的姿势，否则就会出现失误(1)求这条抛物线的表达式；(2)在某次试跳时，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空 中
9、调整好入水姿势时，距池边的水 平距离为 3 m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明35理由解析 解决这个问题的关键是正确地进行数学建模，将运动员在空中的运动路线抽象为所给出的直角坐标系中的抛物线，用待定系数法求出表达式，再利用函数知识求解解：三、随堂检测1已知二次函数 yax 2bxc 的图象如图 X212 所示，对称轴为直线 x1，则下列结论正确的是( ) Aac0 5B方程 ax2bxc0 的两根是 x11，x 23 C2ab0 D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小2已知二次函 数 yax 2bxc(a0)的图象如图 X213 所示，现有下列结论 ：b 24ac0；a0；b0；c0；
10、9a3bc0)的图象经过点 C(0,1)，且与 x 轴交于不同的 两点 A、B，点 A 的坐标是(1,0)(1)求 c 的值；(2)求 a 的取值范围；(3)该二次函数的图象与直线 y1 交于 C、D 两点，设 A、B 、C、D 四 点构成的四边形的对角线相交于点 P，记PCD 的面积为 S1，PAB 的面积为 S2，当 0a1 时，求证：S1S 2为常数，并求出该常数【答案】1.B2.B3.C4. 解：(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少 10 kg.(2)由题意，得y20(95010x) (95010x)2x 240x14250.(5x5)(3)y2x 240x14250
11、2(x10) 214450，当 1x10 时，y 随 x 的增大而增大；当 10x20 时，y 随 x 的增大而减小；当 x10 时，即在第 10 天，y 取得最大值，最大值为 14450 元5. 解：(1)c1(2)将 C(0,1)，A(1,0)代入得 ab10，故 ba1.7由题意可知，b 24ac0，可得(a1) 24a0，即(a1) 20，故 a1.又 a0，所以 a 的取值范围是 a0 且 a1.(3)由题意 0a1，ba1 可得 1，故 B 在 A 的右边，B 点坐标为b2a， C(0,1)，D ，(ba 1， 0) ( ba， 1)|AB| 11 2，|CD| .ba ba baS1S 2S CDA S ABC |CD|1 |AB|1 1 11.12 12 12 ( ba) 12 ( ba 2)所以 S1S 2为常数，该常数为 1.
