1、12.4.1二次函数的应用一、夯实基础1如图所示的抛物线的解析式是 ( )Ayx 2x2 By=x 2x2Cyx 2x2 Dy=x 2x22如图所示的是二次函数 yax 2xa 21 的图象，则 a的值是 3已知抛物线 y4x 211x3，则它的对称轴是 ，与 x轴的交点坐标是 ，与 y轴的交点坐标是 .4抛物线 yx 2bxc 与 x轴的正半轴交于 A，B 两点，与 y轴交于 C点，且线段AB的长为 1，ABC 的面积为 l，则 b的值是 5用 12米长的木料做成如图 2111 所示的矩形窗框(包括中间的十字形)，当长、宽各为多少时，矩形窗框的面积最大?最大面积是多少? 2二、能力提升6.（
2、2016青海西宁3 分）如图，在ABC 中，B=90，tanC= ，AB=6cm动点 P从点 A开始沿边 AB向点 B以 1cm/s的速度移动，动点 Q从点 B开始沿边 BC向点 C以2cm/s的速度移动若 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，在运动过程中，PBQ 的最大面积是（ ）A18cm 2B12cm 2C9cm 2D3cm 27如图 2112 所示，ABC 的面积为 2400c m2，底边 BC的长为 80cm，若点 D在 BC上，点 E在 AC上，点 F在 AB上，且四边形 BDEF为平行四边形，设 BDx cm，S BDEF=y Acm2(1)求 y与 x之间的函数关系式；(
3、2)求自变量 x的取值范围；(3)当 x为何值时，y 最大?最大值是多少?8如图所示，在 ABCD中，AB4，BC3，BAD120，E 为 BC上一动点(不与AB重合)，作 EFAB 于 F，延长 FE与 DC的延长线交于点 G，设 BEx，DEF 的面积为 S(1)求证BEFCEG；(2)用 x表示 S的函数关系式，并写出 x的取值范围；(3)当 E运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少?3三、课外拓展9如图所示，在边长为 8 cm的正方形 ABCD中，E，F 是对角线 AC上的两个点，它2们分别从点 A、点 C同时出发，沿对角线以 1 cms 的相同速度运动，过 E作 EH垂直 AC，交
4、 RtADC 的直角边于 H；过 F作 FG垂直 AC，交 RtADC 的直角边于 G，连接 HG，EB. 设 HE，EF，FG，GH 围成的图形面积为 S1，AE，EB，BA 围成的图形面积为 S2(这里规定：线段的面积为 0)若 E到达 C，F 到达 A，则停止运动若 E的运动时间为 x s，解答下列问题(1)当 0x8 时，直接写出以 E，F，G，H 为顶点的四边形是什么四边形，并求 x为何值时，S 1=S2；(2)若 y是 S1与 S2的和，求 y与 x之间的函数关系式；(图 2115 为备用图)求 y的最大值四、中考链接1.（2014菏泽第 8题 3分）如图，RtABC 中，AC=B
5、C=2，正方形 CDEF的顶点D、F 分别在 AC、BC 边上，C、D 两点不重合，设 CD的长度为 x，ABC 与正方形 CDEF重叠部分的面积为 y，则下列图象中能表示 y与 x之间的函数关系的是（ ）4ABCD2.（2014广西贺州，第 26题 12分）二次函数图象的顶点在原点 O，经过点 A（1，） ；点 F（0，1）在 y轴上直线 y=1 与 y轴交于点 H4（1）求二次函数的解析式；（2）点 P是（1）中图象上的点，过点 P作 x轴的垂线与直线 y=1 交于点 M，求证：FM平分OFP；（3）当FPM 是等边三角形时，求 P点的坐标答案1D 21提示：抛物线开口向上，故 a0因为图
6、象过原点，所以 a210，所以5a1，所以 a1 3x (3，0), ( ，0) (0，3) 81443 5解：设窗框的长为 x米，则窗框的宽为 米，矩形窗框的面积 yx( )123x123xx 24x配方得 y(x2) 24a=l0，函数 y(x2) 24 有最大值当 x2 时，y 最大值 4 平方米，此时 42 2(米)，即当长、宽各为 2米时，3矩形窗框的面积最大，最大值为 4平方米 6.解：tanC= ，AB=6cm ， = ，BC=8，由题意得：AP=t，BP=6t，BQ=2t，设PBQ 的面积为 S，则 S= BPBQ= 2t（6t） ，S=t 2+6t=（t 26t+99）=（t
7、3） 2+9，P：0t6，Q：0t4，当 t=3时，S 有最大值为 9，即当 t=3时，PBQ 的最大面积为 9cm2；故选 C7解：(1)设 A到 BC的距离为 d cm，E 到 BC的距离为 h cm，则y=S BDEF=xhS ABC BCd，2400= 80d，d=60EDAB，EDCA1212ABC， ，即 ，hDdBC806hxh= ，y x x260x(2)自变量 x的取值范围是 0x80 3(80)4x3()43(3)a= 0， 40，04080，当 x40 时，y 最大值 1200 2ba8(1)证明：ABCD，BECG又BEF=CEG，BEFCEG (2)解：由(1)得，G
8、BFE90，DG 为DEF 中 EF边上的高在 RtBFE 中，6B=60，EFBEsin B x.在 RtCGE 中，CE=3x，CG=(3x)cos 6032= ，DG=DCCG= ，S= EFDG= x2 x，其中 0x3 32x1x1381(3)解：a= 0，对称轴 x ，当 0x3 时， S随 x的增大而增大，382当 x3，即 E与 C重合时，S 有最大值，S 最大值 3 9解：(1)以 E，F，G，H 为顶点的四边形是矩形正方形 ABCD的边长为8 ， AC=16AEx，过点 B作 BOAC 于 O，如图 2116 所示，则2BO8，S 24xHE=x，EF162x，S 1=x(
9、162x)当 S1S 2，即 x(162x)=4x时，解得 x1=0(舍去)，x 26当 x6 时，S 1S 2 (2)当 0x8 时，如图 2116 所示y=x(162x)4x2x 220x当 8x16 时，如图所示，AEx，CE=HE16x，EF162(16x)=2x16，S 1(16x)(2x16)，y(16x)(2x16)4x=2x 252x256(2)解法 1：当 0x8 时，y2x 220x2(x 210x25)50=2(x5)250，当 x5 时，y 的最大值为 50当 8x16 时，y2x 252x256=2(x13)282，当 x13 时，y 的最大值为 82综上可得，y 的
10、最大值为 827解法 2：y2x 220x(0x8)，当 x 5 时，y 最大值20() 50y=2x 252x256(8x16)，当 x= 13 时，y 最大值 =04() 2()82综上可得，y 的最大值为 82256()中考链接：1.A2.解答：（1）解：二次函数图象的顶点在原点 O，设二次函数的解析式为 y=ax2，将点 A（1， ）代入 y=ax2得：a= ，414二次函数的解析式为 y= x2；（2）证明：点 P在抛物线 y= x2上，可设点 P的坐标为（x， x2） ，14过点 P作 PBy 轴于点 B，则 BF= x21，PB=x，RtBPF 中，PF= = x2+1，14PM直线 y=1，PM= x2+1，14PF=PM，PFM=PMF，又PMx 轴，MFH=PMF，PFM=MFH，FM 平分OFP；（3）解：当FPM 是等边三角形时，PMF=60，8FMH=30，在 RtMFH 中，MF=2FH=22=4，PF=PM=FM， x2+1=4，14解得：x=2 ， x2= 12=3，满足条件的点 P的坐标为（2 ，3）或（2 ，3）
