1、1课时达标检测（四十四） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题一般难度题全员必做1已知椭圆 E： 1( ab0)的一个焦点为 F2(1,0)，且该椭圆过定点 M .x2a2 y2b2 (1， 22)(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设点 Q(2,0)，过点 F2作直线 l 与椭圆 E 交于 A， B 两点，且 ， 2，1，以 QA， QB 为邻边作平行四边形 QACB，求对角线 QC 长度F2A F2B 的最小值解：(1)由题易知 c1， 1，1a2 12b2又 a2 b2 c2，解得 b21， a22，故椭圆 E 的标准方程为 y21.x22(2)设直线 l： x ky1，由Error!得(
2、k22) y22 ky10， 4 k24( k22)8( k21)0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则可得 y1 y2 ， y1y2 . 2kk2 2 1k2 2 ( x1 x24， y1 y2)QC QA QB ，(4 k2 1k2 2 ， 2kk2 2)| |2| |216 ，由此可知，| |2的大小与QC QA QB 28k2 2 8 k2 2 2 QC k2的取值有关由 可得 y1 y 2， ， (y1y20)F2A F2B y1y2 1 y2y1从而 ，1 y1y2 y2y1 y1 y2 2 2y1y2y1y2 6k2 4k2 2由 2，1得 ，从而 2，解得 0 k
3、2( 1 ) 52， 2 52 6k2 4k2 2.27令 t ，则 t ，| |28 t228 t168 2 ，当 t 时，1k2 2 716， 12 QC (t 74) 172 12|QC|min2.22(2018河南洛阳统考)已知抛物线 C： x22 py(p0)，过焦点 F 的直线交 C 于A， B 两点， D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点(1)若 AB l，且 ABD 的面积为 1，求抛物线的方程；(2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切解：(1) AB l，| FD| p，| AB|2 p. S ABD p21. p
4、1，故抛物线 C 的方程为 x22 y.(2)证明：显然直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y kx ， A ， B .p2 (x1， x212p) (x2， x22p)由Error! 消去 y 整理得， x22 kpx p20. x1 x22 kp， x1x2 p2. M(kp， k2p )， N .p2 (kp， p2) k AN .x212p p2x1 kpx212p p2x1 x1 x22x21 p22px1 x22x21 x1x22px1 x22 x1p又 x22 py， y .xp抛物线 x22 py 在点 A 处的切线斜率 k .x1p直线 AN 与抛物线相切3(2018合肥模拟
5、)已知中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆 C，其上一点 P 到两个焦点 F1， F2的距离之和为 4，离心率为 .32(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 y kx1 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 OAB 面积的取值范围解：(1)设椭圆的标准方程为 1( ab0)，y2a2 x2b2由条件知，Error!解得 a2， c ， b1，3故椭圆 C 的方程为 x21.y24(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得( k24) x22 kx30，故 x1 x2 ， x1x2 ，2kk2 4 3k2 4设 OAB 的面积为 S，由 x1x2 0，1t 1t2 t
6、2 1t2 y t 在 t3，)上单调递增， t ，1t 1t 1030b0)的右焦点 F(1,0)作直22 x2a2 y2b2线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，设| FA| |FB|， T(2,0)(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 1 2，求 ABT 中 AB 边上中线长的取值范围解：(1) e ， c1， a ， b1，22 2即椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)当直线的斜率为 0 时，显然不成立设直线 l： x my1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error! 得( m22) y22 my10，则 y1 y2 ， y1y2 ， 2mm2 2 1m2
7、 2由| FA| |FB|，得 y1 y 2， ，1 y1y2 y2y1 2 ， m2 ，1 y1 y2 2y1y2 4m2m2 2 27又 AB 边上的中线长为 | |12 TA TB 412 x1 x2 4 2 y1 y2 2 4m4 9m2 4 m2 2 2 .2 m2 2 2 7m2 2 4 1， 132162(2018武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点， A(2,0)， B(0,1)是它的两个顶点，直线 y kx(k0)与直线 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E， F 两点(1)若 6 ，求 k 的值；ED DF (2)求四边形 AEBF 面积的最大值解：(1)由题设条件可得，椭圆
8、的方程为 y21，直线 AB 的方程为 x2 y20.x24设 D(x0， kx0)， E(x1， kx1)， F(x2， kx2)，其中 x10)，即 k 时，等号1 4k1 4k2 144k 1k 1424k1k 2 1k 125成立故四边形 AEBF 面积的最大值为 2 .2较高难度题学霸做1(2018石家庄市质量检测)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点分别为x2a2 y2b2A， B，且长轴长为 8， T 为椭圆上任意一点，直线 TA， TB 的斜率之积为 .34(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 M(0,2)的动直线与椭圆 C 交于 P， Q 两点，求
9、OP OQ 的取值范围MP MQ 解：(1)设 T(x， y)，由题意知 A(4,0)， B(4,0)，设直线 TA 的斜率为 k1，直线 TB 的斜率为 k2，则 k1 ， k2 .yx 4 yx 4由 k1k2 ，得 ，34 yx 4 yx 4 34整理得 1.x216 y212故椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y kx2，点 P， Q 的坐标分别为(x1， y1)，( x2， y2)，直线 PQ 与椭圆方程联立，得Error! 消去 y，得(4 k23) x216 kx320.所以 x1 x2 ， x1x2 .16k4k
10、2 3 324k2 3从而， x1x2 y1y2 x1x2( y12)( y22)2(1 k2)OP OQ MP MQ x1x22 k(x1 x2)4 20 . 80k2 524k2 3 84k2 3所以20 .OP OQ MP MQ 523当直线 PQ 的斜率不存在时， 的值为20.OP OQ MP MQ 综上， 的取值范围为 .OP OQ MP MQ 20， 5232(2018沈阳质量监测)已知椭圆 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，x2a2 y2b2且| F1F2|6，直线 y kx 与椭圆交于 A， B 两点6(1)若 AF1F2的周长为 16，求椭圆的标准方程；(2)
11、若 k ，且 A， B， F1， F2四点共圆，求椭圆离心率 e 的值；24(3)在(2)的条件下，设 P(x0， y0)为椭圆上一点，且直线 PA 的斜率 k1(2，1)，试求直线 PB 的斜率 k2的取值范围解：(1)由题意得 c3，根据 2a2 c16，得 a5.结合 a2 b2 c2，解得 a225， b216.所以椭圆的方程为 1.x225 y216(2)法一：由Error!得 x2 a2b20.(b218a2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)所以 x1 x20， x1x2 ， a2b2b2 18a2由 AB， F1F2互相平分且共圆，易知， AF2 BF2，因为 ( x
12、13， y1)， ( x23， y2)，F2A F2B 所以 ( x13)( x23) y1y2F2A F2B x1x290.(118)即 x1x28，所以有 8， a2b2b2 18a2结合 b29 a2，解得 a212( a26 舍去)，所以离心率 e .32法二：设 A(x1， y1)，又 AB， F1F2互相平分且共圆，所以 AB， F1F2是圆的直径，所以 x y 9，21 21又由椭圆及直线方程综合可得：Error!由前两个方程解得 x 8， y 1，21 21将其代入第三个方程并结合 b2 a2 c2 a29，解得 a212，故 e .32(3)由(2)的结论知，椭圆方程为 1，x212 y23由题可设 A(x1， y1)， B( x1， y1)，7k1 ， k2 ，y0 y1x0 x1 y0 y1x0 x1所以 k1k2 ，y20 y21x20 x21又 ，y20 y21x20 x21 3(1 x2012) 3(1 x2112)x20 x21 14即 k2 ，由2 k11 可知， k2 .14k1 18 14即直线 PB 的斜率 k2的取值范围是 .(18， 14)
