1、127.2.2 相似三角形的性质 教学模式介绍：数学的核心素养包括数学抽 象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运 算和数据分析。这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体。核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展。教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习。课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思
2、想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展。设计思路说明：“相似三角形的性质”是在学习了相似三角形的判定后对相似三角形相关几何量的进一步研究。这节课从复习旧知入手，根据相似三角形的定义得出相似三角形的三边成比例，三角对应相等。然后提出问题：在三角形中除了三条边的长度，三个角的度数，还有哪些量是我们可以研究的？从而进入本节课要研究的内容。三角形的高、中线、角平分
3、线、周长、面积这些量是我们比较熟悉的。接下来，设计了三个探究，分别对相似三角形中的这五个量进行探究。探究一：如果ABCABC，相似比为 k，则它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？探究二：如果ABC ABC，相似比为 k，则它们的周长有什么关系？探究三：如果ABCABC，相似比为 k，则它们的面积有什么关系？由探究一得出相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，推广得到对应线段的比等于相似比。以探究一的结论为基础，对探究二和探究三的问题进行研究，得出相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。最后再设计相关的题目，让学生运用本节课得到的相似三角形的性质解决问题
4、。教材分析本节课内容属于全日制义务教育数学课程标准 2011 版中的“空间与图形”领域，2是在学习了相似三角形的判定基础上，对相似三角形的性质进行研究。与全等三角形一样，相似三角形的性质主要研究相似三角形几何量之间的关系。由相似三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例。三角形还有其他的几何量，如高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等。教材先是对相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比进行探究，推广得到对应线段的比等于相似比，以此作为基础，得到相似三角形面积的比与相似比的关系。教学目标（1）知道相似三角形对应线段的比等于相似比，周长比等于相似比，面积的比等于相似比。（2）
5、通过小组讨论，经历探究并推理证明相似三角形的性质的过程，发展学生“逻辑推理”的核心素养。（3）在利用相似三角形的性质求有关线段的长和三角形的面积的过程中，发展学生“数学运算”的核心素养。重点难点教学重点：相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系的探究和运用。教学难点：提出相似三角形性质的猜想。课前准备:多媒体课件，几何画板教学过程：1复习提问，导入新知【问题 1】（1）相似三角形的定义是什么？（2）根据定义，可以得出相似三角形又什么性质？（3）在三角形中除了三条边的长度，三个角的度数，还有哪些量是我们可以研究的？师生活动：教师提出问题，学生思考、回答。教师引导学生复习相似三角形的定义，进
6、而由定义得出相似三角形的对应角相等，对应边成比例。再提出问题：三角形中还有哪些量是我们可以研究的？学生回答。设计意图：第 1 问：复习相似三角形的定义，为学生得出相似三角形的基本性质做铺3垫。第 2 问：由定义得出相似三角形的对应角相等，对应边成比例。为继续探究相似三角形的其他性质做铺垫。第 3 问：接下来和同学们一起猜想：在三角形中除了边和角，还有哪些量可以研究？引导学生回答高、中线、角平分线、周长、面积，从而引出本节课的课题。2. 类比探究，形成新知【问题 2】已知ABCABC， 相似比为 k，证明对应高的比为 k师生活动：（1）学生分别画出两个三角形的对应高 AD 和 AD。（2）教师提
7、出问题，对应高 AD 和 AD在哪两个三角形中？这两个三角形相似吗？如何证明？（3）学生分析在 RtABD 和 RtABD中，有B=B，可以判定ABDABD，得出对应高的比为 k，等于相似比。（4）得出结论：相似三角形的对应高的比等于相似比。设计意图：在证明相似三角形的对应高的比等于相似比的过程中包含了两组相似三角形。当学生作出两个三角形的对应高后，教师要引导学生发现对应高所在的两个三角形相似，然后在让学生寻找条件判定这两个三角形相似。通过经历证明三角形相似，既让学生巩固了三角形相似的判定方法，又得出新知识。【问题 3】如图，已知ABCABC，相似比为 k，则对应中线的比是多少？师生活动：学生
8、观察，思考，小组讨论，并简要说出推理过程，得出结论：相似三角形的对应中线的比等于相似比。设计意图：学生在经历了推导相似三角形的对应高的比等于相似比后，积累了一定的经验 。因此，在推导相似三角形对应中线的比等于相似比的过程中，让学生类比刚才的证明思路进行分析。学生口述推理过程，得到结论即可，对过程的书写不作要求。【问题 4】 如图，已知ABCABC，相似比为 k，则对应角平分线的比是多少？师生活动：学生观察，思考，小组讨论，并简要说出推理过程，得出结论：相似三角形的对应角平分线的比等于相似比。设计意图：学生在经历了推导相似三角形的对应高以及对应中线的比等于相似比后，4积累了一定的经验。因此，在推
9、导相似三角形对应角平分线的比等于相似比的过程中，让学生类比刚才的证明思路进行分析。学生口述推理过程，得到结论即可，对过程的书写不作要求。追问 由上述结论可以得出：如果 ABC ，相似比为 ，对应线段的比等CBAk于相似比。你是如何理解对应线段的？试举例说明。师生活动：学生猜想，教师利用几何画板验证。设计意图：由相似三角形对应高的比等于相似比类比，得到对应中线、角平分线的比等于相似比，进而归纳出对应线段的比等于相似比。几何画板辅助演示，直观形象，用利于学生归纳得出一般结论。【问题 5】 如果ABCABC，相似比为 k，则它们的周长有什么关系？师生活动：学生自主探究，教师指导，将 ABC 中的每条
10、边用 中相应的边表CBA示，然后得出结论。设计意图：求对应周长的比可以看作是相似三角形对应线段的比等于相似比的应用。【问题 6】 如果ABCABC，相似比为 k，则它们的面积有什么关系？师生活动：（1）师生分析：我们已经知道相似三角形对应线段的比等于相似比，可将三角形的面 积往对应线段上转化。（2）让学生写出两个三角形的面积的计算式，并进行转化。（3）得出结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方。设计意图：在对相似三角形对应周长 的比等于相似比的探究基础上，进一步运用转化的思想解决面积的比的问题，让学生深入体会相似比的应用。3. 典例探讨，运用新知【问题 7】 如图，在ABC 和DEF 中，A
11、B=2DE，AC=2DF，A=D。若ABC 的边 BC上的高是 6，面积为 ，求DEF 的边 EF 上 的高和面积。51师生活动：师生一起分析 ABC 和 DEF 具有什么关系，相似三角形的对应高，对应面积有什么关系？再用这些关系进行求解。设计意图：进一步巩固三角形相似的判定方法，学会运用新知求三角形的对应线段的长度和面积。4.巩固提高， 应用新知1.判断下列说法是否正确。5（1）一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这 个三角形的角平分线也扩大为原来的 5倍。 （ ）（2）一个三角形的各边长扩大为原来 的 9 倍，这个三角形的面积也扩大为原来的 9 倍。 （ ）2.填空。（1）如果两个相似
12、三角形对应边的比为 35 ，那么它们的周长的比为 ，面积的比为 .（2）如果两个相似三角形面积的比为 19，那么它们的对应高的比为 .3.如图，ABC 与ABC相似，AD，BE 是ABC 的高，AD，BE是ABC的高，求证: ADBE4.如图，ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC=120 mm，高 AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边 QP 落在 BC 边上，另两个顶点 E，F 分别在 AC，AB 边上，求这个正方形零件的边长。师生活动：教师多媒体出示题目，请学生回答或板演，给出正确解答。设计意图：通过这些练习题的讨论，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对相似三角形性
13、质的理解和运用。 教学反思：1.注重类比思想本节课主要探究相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线，周长以及面积的比与相似比的关系。在探究过程中，先引导学生探究相似三角形的对应高的比等于相似比，然后类比此探究方法，探究对应中线、对应角平分线与相似比的关系。2.注重转化思想在对相似三角形的周长比和面积比的探究中，用代数式的运算将周长比和面积比转化 为三角形中对应线段的比，从而得出周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。63.注重启发式教学本节课以问题的提出、问题的解决为主线。先提出如下三个问题：（1）相似三角形的定义是什么？（2）根据定义，可以得出相似三角形又什么性质？（3）在三角形中除了三
14、条边的长度，三个角的度数，还有哪些量是我们可以研究的？这三个问 题既复习了相似三角形的定义，又根据定义引出相似三角形的基本性质。同时，引发学生思考：还可以研究相似三角形中的哪些量呢？导出本节课的内容。在新知学习中注重在学生知识的“最近发展区”题设置问题，倡导学生主动参与思考，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 4.注重信息技术的应用根据本节课教材内容的特点，运用多媒体信息技术，以几何画板绘制两个相似三角形，同时标记比值，通过动态的演示，让学生观察当相似比发生变化时，对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的变化。加深学生对相似三角形性质的理解，也可以激发学生的学习兴趣。
