1、函数的极限 之二 当x x0时 函数f x 的极限 当x x0时 函数f x 的左 右极限 一 当x x0时 函数f x 的极限 1 当x x0时 函数f x 的极限 定义 定义中 x x0 表示x从小于x0和大于x0的两个方向趋近于x0 定义中考虑的是x x0时函数f x 的变化趋势 并不考虑在x0处f x 的情况 注意 如果当x无限接近于定值x 即xx x可以不等于x 时 函数f x 无限接近于一个确定的常 那么 称为函数f x 当x x 时的极限 记作 例1 考察下列函数 写出当x2时函数的极限并作图验证 解 例2 解 设f x sinx 作图 设f x cosx 作图 例3 B 解 求
2、极限 并作图观察 练习1 求下列极限 0 8 0 1 6 返回目录 2 当x x0时 函数f x 的左极限和右极限 定义 如果当x x0 或x x0 时 函数f x 无限接近于一个确定的常数A 那么A称为函数f x 当x x0时的左极限 或右极限 记作 例4 A 解 讨论函数当时的极限 例5 B 解 讨论函数当时的极限是否存在 返回目录 二 无穷小与无穷大 1 无穷小 定义 如果当 或 时 函数f x 的极限是零 那么称函数f x 当 或 时为无穷小 如当时 sinx是无穷小 当时 是无穷小 注意 1 无穷小是以零为极限的变量 常数中只有零是无穷小 定义 如果当 或 时 函数f x 的绝对值无
3、限增大 那么称函数f x 当 或 时为无穷大 无穷大 为方便起见 我们也称 函数的极限是无穷大 并记为 注意 1 无穷大是个变量 不是常数 2 无穷大总和自变量的变化趋势相关联 无穷小与无穷大的关系 定理在自变量的同一变化过程中 如果f x 为无穷大 则为无穷小 反之 如果f x 为无穷小 则为无穷大 例如 例6 B 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小 解 因为时 所以时 是无穷小 因为时 所以时 是无穷大 解 解 因为时 所以时 是无穷小 因为时 所以时 是无穷大 因为时 所以时 是正无穷大 因为时 所以时 是无穷小 B 4 无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中 无穷
4、小具有以下的性质 性质1 有限个无穷小的代数和为无穷小 性质2 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 性质3 有限个无穷小的乘积为无穷小 解 例7 B 因为时 x为无穷小 为有界函数 由性质2 得到 练习4 利用无穷小的性质 求下列函数的极限 0 0 0 0 0 5 无穷小的比较 定义设 和 是同一变化过程中的两个无穷小 即lim 0和lim 0 如果 那么称 是 的高阶无穷小 如果 那么称 是 的低阶无穷小 解 A C 三 小结 1 当x x0 x0 或x0 时 函数f x 极限的概念 2 当x x0 x0 或x0 时 应用观察法求函数f x 的极限 1 观察函数式 2 观察函数图象 4 无穷小与无穷大 1 无穷小与无穷大的关系 2 无穷小的性质 3 无穷小的比较
