1、1 第二部分积分变换 傅立叶积分变换 傅氏变换 拉普拉斯积分变换 拉氏变换 2 积分变换简介 所谓积分变换 实际上就是通过积分运算 把一个函数变成另一个函数的一种变换 3 第七章傅立叶变换 主要内容 1 傅立叶积分公式 2 傅立叶变换及其性质 3 卷积 4 1傅立叶级数与积分 1 傅立叶级数的指数形式 在 高等数学 中有下列定理 5 6 2 傅立叶积分 任何一个非周期函数f t 都可看成是由某个周期函数fT t 当T 时转化而来的 公式 2 称为函数f t 的傅氏积分公式 于是 7 则 2 在f t 的连续点成立 上述定理称为傅氏积分定理 8 2傅立叶变换 1 傅立叶变换的概念 上一节介绍了
2、当f t 满足一定条件 时 在f t 的连续点处有 9 还可以将f t 和F w 用箭头连接 f t F w 10 t f t o 11 解 根据定义 有 这就是指数衰减函数的傅氏变换 12 根据积分表达式的定义 有 注意到 化简整理 13 本讲小结 1 掌握傅氏积分定理的条件和结论 2 掌握傅氏变换和傅氏逆变换的概念 14 3单位脉冲函数 2 单位脉冲函数 1 单位脉动函数 在物理和工程技术中 有许多物理现象具有脉冲性质 例如断电以后的突然来电等 在力学中 机械系统受冲击力作用后的运动情况等 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数 物理学家狄拉克首先引入 此后在物理及工程技术中被广泛地
3、采用 15 2 1单位脉冲函数的定义 2 2单位脉冲函数的性质 1 积分性质 证明 16 一些工程书中 函数常用一个长度等于1的有向线段来表示 t O d t 1 2 筛选性质 对于无穷次可微的函数f t 有 一般地 17 这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用 例1求单位脉冲函数的傅氏变换 解 可见 单位脉冲函数d t 与常数1构成了一傅氏变换对 同理 d t t0 和亦构成了一个傅氏变换对 18 例2 称为单位跃阶函数 证 首先注意 这里的变换显然指的是广义变换 我们用考察逆变换的方法证明 19 当t 0时 有 20 同理当t 0时 有 综上所述 根据 有 证毕 21 解 由定义
4、有 故得到 22 于是 有 例4求正弦函数f t sinw0t的傅氏变换 解 23 同理 可得 即 24 4傅立叶变换的性质 为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类实际问题 它的一些基本性质必须熟练掌握 为了叙述方便起见 假定在这些性质中 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件 在证明这些性质时 不再重述这些条件 1 线性性质 则 F 逆变换也具有类似的性质 请写出相应的性质 25 2 位移性质 证明 根据定义 得 26 显而易见 位移公式的作用是 知道了一个函数的变换 便可由此求出其位移函数的变换 同理可得 推论 提示 利用欧拉公式和位移性质容易证明 27 3 微分性质 证明 根据定义 得 如果f t 在 上连续或只有有限个可去间断点 且当 t 时 f t 0 则 28 类似地可推得象函数的导数公式 一般地 如果在 上连续或只有有限个可去间断点 且当 t 时 有 则 29 例如 设 思考题 30 4 积分性质 证明 31 本讲小结 1 掌握单位脉冲函数的定义 2 熟悉傅氏变换的性质 3 会求常见函数的傅氏变换和逆变换
