1、1 理解不等式的概念 性质 掌握不等式的解法 2 掌握两个 三个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理 并会简单应用 3 掌握分析法 综合法 比较法证明简单的不等式 4 会解简单的绝对值不等式 5 熟练掌握高次不等式 分式不等式的解法 穿针引线法 6 掌握柯西不等式当且仅当时取等号 1 在解不等式时 要十分注意不等式性质的灵活利用 还应注意观察 分析所给不等式的形式和结构 据此选取适当的方法和策略 进行有效地变形与整合可迅速得出结论 在利用基本不等式解决有关问题时 应特别注意深刻领会积 和 平方和之间的特殊关系 即 a b都是正实数 要注意主动创设应用基本不等式的条件和环境 仔细观察 分析所给
2、不等式的形式和结构 合理拆分 积极配凑因式是常用的解题技巧 而拆分与配凑的核心是使等号成立 牢记 和定积最大 积定和最小 结论 严格遵循 一正 二定 三相等 的原则 切记验证等号 2 在解答不等式的有关问题 还经常根据所给不等式的结构和形式 通过适当转化构造出满足题意的函数 利用函数的单调性去解答或证明 通过适当转化构造出满足题意的图形 利用数形结合的思想去解答或证明 要掌握这种转化与划归的数学思想 3 在解一元二次不等式时 要把二次方程 二次函数 二次不等式三者有机的结合起来 三者相辅相成 相得益彰 二次函数图象是三者相互联系的纽带 若二次项系数是关于参变量a的代数式f a 时 需对f a
3、0 f a 0分类进行讨论 当f a 0时 又需对判别式 分 0 0 0进行讨论 在写出不等式的解集时 有时需要通过比较二次函数对应方程 的根来分类 最后确定出分类标准 若不等式中含有指数或对数 则还需对其底数进行分类讨论 最后还再适当整合 确定出满足题意的解集 1 2009 全国 不等式的解集为 A x 0 x 1 x x 1 B x 0 x 1 C x 1 x 0 D x x 0 解析由题意可知 D 2 2009 北京 若函数f x 则不等式 f x 的解集为 解析 不等式 f x 的解集为 x 3 x 1 3 1 题型一不等式的解法 例1 解不等式ax2 2a 1 x 2 0 解 当a
4、0时 由题意可知 原不等式的解集为 x x 2 当a 0时 原不等式可化为 即方程ax2 2a 1 x 2 0的两根分别为x1 2 x2 则 当a 时 原不等式的解集为 x x 2或x 当0 a 时 原不等式的解集为 x x 或x 2 当a 时 原不等式的解集为 x x 2 当a 0时 原不等式的解集为 x x 2 探究拓展 在解含参数不等式时 应首先对参数进行分类讨论 但对分类标准的把握既是重点也是难点 特别是变量的系数含有参数 一定要讨论参数是否为零 然后再进行求解 切记 变式训练1解关于x的不等式解原式可化为 当k 1时 原不等式的解集为 k 1 2 当k 1时 原不等式的解集为 2 当
5、1 k 2时 原不等式的解集为 1 k 2 当k 2时 原不等式的解集为 1 2 2 当k 2时 原不等式的解集为 1 2 k 题型二利用函数的性质求参数的取值范围 例2 若不等式x2 ax 1 0对于一切x 0 2 成立 求a的取值范围 1 若题中区间改为x 0 求a的取值范围 2 若题中区间改为x 2 2 求a的取值范围 3 若题中区间改为a 2 2 求x的取值范围 解原不等式可化为所以a的取值范围是 2 1 因为则函数f x 在区间 0 上是减函数 所以f x min 所以a的取值范围是 2 因为x 2 2 而当x 0时 原式为02 a 0 1 0恒成立 此时a R 当x 0时 因为则当
6、x 0 2 时 知a 2 所以当x 2 0 时 因为由函数的单调性可知 所以f x max f 1 2 所以a 2 综上可知 a的取值范围是 2 2 3 因为a 2 2 则可把原式看作关于a的函数 即g a xa x2 1 0 由题意可知 解之得x R 所以x的取值范围是 探究拓展 本题考查了不等式恒成立问题 在给定自变量的取值范围时 解有关不等式问题时 往往采用分离变量或适当变形 或变换主元 或构造函数 再利用函数的单调性或基本不等式进行求解 在解答时 一定要注意观察所给不等式的形式和结构 选取合适的方法去解答 变式训练2已知不等式x2 px 1 2x p 1 若当2 x 4时 不等式恒成立
7、 求p的范围 2 若当 2 p 2时 不等式恒成立 求x的范围 解 1 原不等式可化为p x 1 x2 2x 1 又因为2 x 4 所以p 1 x 所以p的取值范围是 1 2 原式可看作关于p的函数f p x 1 p x2 2x 1 0 又因 2 p 2 所以解之得x 1 3 练1 2009 天津 设x y R a 1 b 1 若ax by 3 a b 则的最大值为 A 2B C 1D 解析因为ax by 3 所以x loga3 y logb3 C 练2 若a是1 2b与1 2b的等比中项 则的最大值为 A B C D 解析a是1 2b与1 2b的等比中项 则a2 1 4b2即a2 4b2 1 因求的最大值 所以a b同号 不妨令a 0 0 b B 练3 2009 山东 不等式 2x 1 x 2 0的解集为 解析原不等式等价于不等式两边平方 可解得 x 1 x 1 练4 已知 x 0 则的最小值为 解析x 0 1 2x 0 又2x 1 2x 1 原式可化为 25 练5 2009 天津 若关于x的不等式 2x 1 2 ax2的解集中的整数恰有3个 则实数a的取值范围是 解析原不等式等价于 a 4 x2 4x 1 0 则要满足题意 4a 0 且有4 a 0 故0 a 4 不等式的解集为则一定有1 2 3为所求的整数解集 所以解得a的范围为
