1、6 2模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟 且有若干典型的模拟滤波器供我们选择 这些滤波器都有严格的设计公式 现成的曲线和图表供设计人员使用 典型的模拟滤波器 巴特沃斯Butterworth滤波器幅频特性单调下降 切比雪夫Chebyshev滤波器幅频特性在通带或者在阻带有波动 椭圆Ellipse滤波器 贝塞尔Bessel滤波器通带内有较好的线性相位持性 为什么要借助于模拟滤波器设计数字滤波器 以这些数学函数命名的滤波器是低通滤波器的原型 模拟滤波器按幅度特性可分成低通 高通 带通和带阻滤波器 它们的理想幅度特性如图所示 通常只观察正频部分 设计滤波器时 总是先设计低通滤
2、波器 再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器 下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法 然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法 1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标构造一个逼近设计指标的传输函数Ha s Butterworth 巴特沃斯 低通逼近Chebyshev 切比雪夫 低通逼近 模拟低通滤波器的设计指标有 p p s和 s p 通带截止频率 s 阻带截止频率 p 通带中最大衰减系数 s 阻带最小衰减系数 p和 s一般用dB数表示 对于单调下降的幅度特性 可表示成 1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 续 如果 0处幅度已归一化到1
3、 即 Ha j0 1 p和 s表示为以上技术指标用图所示 图中 c称为3dB截止频率 因 滤波器的技术指标给定后 需要构造一个传输函数Ha s 希望其幅度平方函数满足给定的指标 p和 s 一般滤波器的单位冲激响应为实数 因此 逼近方法 用频率响应的幅度平方函数逼近 幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用 对于上面介绍的典型滤波器 其幅度平方函数都有自己的表达式 可以直接引用 1 由幅度平方函数确定模拟滤波器的系统函数 h t 是实函数 将左半平面的的极点归 将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为的零点 虚轴上的零点一半归 由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 将因式分解 得到各零极点
4、对比和 确定增益常数 由零极点及增益常数 得 2 Butterworth低通的设计方法 幅度平方函数1 幅度函数特点2 幅度平方函数的极点分布3 滤波器的系统函数4 滤波器的设计步骤 1 幅度平方函数 当 称为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽 N为滤波器的阶数 为通带截止频率 2 幅度函数特点 3dB不变性 通带内有最大平坦的幅度特性 单调减小 过渡带及阻带内快速单调减小 Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制 Butterworth滤波器是一个全极点滤波器 其极点 2 幅度平方函数的极点分布 2N个极点等间隔分布在半径为的圆上 该圆称为巴特沃斯圆 间隔是 Nra
5、d 极点在s平面呈象限对称 分布在Buttterworth圆上 共2N点 极点间的角度间隔为 极点不落在虚轴上 N为奇数 实轴上有极点 N为偶数 实轴上无极点 一半极点在左半平面 一半极点在右半平面 为形成稳定的滤波器 2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha s 而右半平面的N个极点构成Ha s Ha s 的表示式为 设N 3 极点有6个 它们分别为 由于各滤波器的幅频特性不同 为使设计统一 将所有的频率归一化 这里采用对3dB截止频率 c归一化 归一化后的Ha s 表示为式中 s c j c 令 c 称为归一化频率 令p j p称为归一化复变量 这样归一化巴特沃斯的传输函数为 3
6、归一化系统函数 pk为归一化极点 用下式表示 将极点展开可得到的Ha p 的分母p的N阶多项式 用下式表示 上式为Buttterworth低通滤波器的归一化系统函数 分母多项式的系数有表可查 4 阶数N与技术指标的关系 根据技术指标求出滤波器阶数N 确定技术指标 由 得 同理 令 则 技术指标转化为阶数 取大于等于N的最小整数 关于3dB截止频率 c 如果技术指标中没有给出 可由下式求出 因为反归一时要用此参数 5 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤 1 根据技术指标 p p s和 s 求出滤波器的阶数N 2 求出归一化极点pk 由pk构造归一化传输函数Ha p 3 将Ha p 反归一化 阻带指标有
7、富裕 通带指标有富裕 此环节可由查表得到 巴特沃斯归一化低通滤波器的极点 巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式系数 注意 巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式的因式分解 例6 2 1已知通带截止频率fp 5kHz 通带最大衰减 p 2dB 阻带截止频率fs 12kHz 阻带最小衰减 s 30dB 按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器 解 1 确定阶数N 2 由其极点为 传输函数 或由N 5 直接查表得到 极点 0 3090 j0 9511 8090 j0 5878 1 0000系数 b0 1 0000 b1 3 2361 b2 5 2361 b3 5 2361 b4 3 2361 先求3dB截止
8、频率 c 将 c代入 6 2 18 式 得到 将p s c代入Ha p 中得到 3 为将Ha p 去归一化 此时算出的截至频率比题目中给出的小 或者说在截至频率处的衰减大于30dB 所以说阻带指标有富裕量 3 Chebyshev低通滤波器的设计方法 提出的背景巴特沃斯滤波器的频率特性曲线 无论在通带和阻带都是频率的单调函数 因此 当通带边界处满足指标要求时 通带内肯定会有余量 因此 更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内 或者均匀分布在整个阻带内 或者同时分布在两者之内 这样 就可用阶数较低的系统满足要求 这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到 1 Chebyshev低通滤波
9、器的幅度平方函数 Chebyshev 型滤波器的幅度平方函数 N 滤波器的阶数 Chebyshev 型滤波器幅度平方函数 截止频率 不一定为3dB带宽 表示通带波纹大小 越大 波纹越大 N阶Chebyshev多项式 当N 0时 C0 x 1 当N 1时 C1 x x 当N 2时 C2 x 2x2 1 当N 3时 C3 x 4x3 3x 由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为CN 1 x 2xCN x CN 1 x 前两项给出后才能迭代下一个 N 0 4 5切比雪夫多项式曲线 1 幅度函数特点 通带外 迅速单调下降趋向0 N为偶数 N为奇数 通带内 在1和间等波纹起伏 切比雪夫 型与巴特沃斯
10、低通的幅度函数平方曲线 2 Chebyshev滤波器的三个参量 通带截止频率 给定 表征通带内波纹大小 由通带衰减决定 设阻带的起始点频率 阻带截止频率 用 s表示 在 s处的A2 s 为 令 s s p 由 s 1 有 可以解出 滤波器阶数N的确定 阻带衰减越大所需阶数越高 3dB截止频率 c的确定 按照 6 2 19 式 有 通常取 c 1 因此 上式中仅取正号 得到3dB截止频率计算公式 令 3 幅度平方特性的极点分布 以上 p 和N确定后 可以求出滤波器的极点 并确定Ha p p s p 有用的结果 设Ha s 的极点为si i j i 可以证明 上式是一个椭圆方程 因为ch x 大于
11、sh x 长半轴为 pch 在虚轴上 短半轴为 psh 在实轴上 令b p和a p分别表示长半轴和短半轴 可推导出 6 2 29 6 2 30 6 2 31 因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为b p 短半轴为a p的椭圆上的点 设N 3 平方幅度函数的极点分布如图6 2 8所示 极点用X表示 为稳定 用左半平面的极点构成Ha p 即 6 2 32 式中c是待定系数 根据幅度平方函数 6 2 19 式可导出 c 2N 1 代入 6 2 32 式 得到归一化的传输函数为 6 2 33a 图6 2 8三阶切比雪夫滤波器的极点分布 按照以上分析 下面介绍切比雪夫 型滤波器设计步骤 1 确定
12、技术要求 p p s和 s p是 p时的衰减系数 s是 s时的衰减系数 它们为 去归一化后的传输函数为 6 2 33b 6 2 34 6 2 35 5 滤波器的设计步骤 归一化 1 确定技术指标 2 根据技术指标求出滤波器阶数N及 其中 3 求出归一化系统函数 或者由N和 直接查表得 其中极点由下式求出 4 去归一化 例6 2 2设计低通切比雪夫滤波器 要求通带截止频率fp 3kHz 通带最大衰减 p 0 1dB 阻带截止频率fs 12kHz 阻带最小衰减 s 60dB 解 1 滤波器的技术指标 2 求阶数N和 此过程可直接查表 3 求归一化系统函数Ha p 由 6 2 38 式求出N 5时的极点pi 代入上式 得到 4 将Ha p 去归一化 得到 此过程也可直接查表完成 小结 模拟滤波器设计的步骤 通带截止频率 通带衰减 阻带截止频率 阻带衰减 确定滤波器的技术指标 将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数 Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器 构造归一化低通原型滤波器的系统函数 反归一
