1、6.1 传递函数,一 复习拉氏变换的有关内容二 控制系统的复数域数学模型三 控制系统的结构图 四 MATLAB中传递函数的表示,一、复习拉普拉斯变换有关内容,1 复数有关概念,（1）复数、复函数,复数,复函数,例1,（2）模、相角,（3）复数的共轭,（4）解析,若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。,模,相角,2 拉氏变换的定义,（1）阶跃函数,3 常见函数的拉氏变换,（2）指数函数,（3）正弦函数,（1）线性性质,4 拉氏变换的几个重要定理,（2）微分定理,证明：,0初条件下有：,（3）积分定理,零初始条件下有：,进一步有：,（4）实位移定理,证明：,令,（5）复位
2、移定理,证明：,令,（6）初值定理,证明：由微分定理,（7）终值定理,证明：由微分定理,（终值确实存在时）,5 拉氏反变换,（1）反演公式,（2）查表法（分解部分分式法）,用拉氏变换方法解微分方程,L变换,系统微分方程,L-1变换,Matlab实现: laplace( ), ilaplace( ),例：正弦函数,反变换：,syms w tlaplace(sin(w*t),syms s wilaplace(w/(s2+w2)simple(ilaplace(w/(s2+w2),二、控制系统的复数域数学模型,1、传递函数的定义和性质,设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：,定义,在零初始条件下，
3、取拉氏变换得：,称为系统或环节的传递函数，可以写成,例 6-1 RC电路的微分方程式为,初始条件为零时，拉氏变换为,该电路的传递函数为,式中 RC电路的时间常数。,例6-2 求直流他激电动机的传递函数。,以电枢电压为输入量、转速为输出量的微分方程式 ：,在初始条件为零时，上式的拉氏变换为：,传递函数为：,传递函数的性质,（1）因果系统的传递函数是s 的有理真分式函数，具有复变函数的性质。,（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关。,（3）传递函数与微分方程可相互转换。,（4）传递函数 的Laplace反变换是系统的脉冲响应 。,（5）传递函数可表示成零极点的形式。,（1
4、）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； （2）适合于描述单输入/单输出系统； （3）只能用于表示线性定常系统。,传递函数的局限性,（6）传递函数还可用时间常数的形式表示。,传递函数、频率特性和微分方程之间的关系,2.典型环节的传递函数及暂态特性,1） 比例环节 ：其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示：,式中 环节的放大系数，为一常数。,传递函数为：,图6-1 比例环节,2）惯性环节,惯性环节的传递函数可以写成如下表达式。,现求输入量为单位跃阶函数时，惯性环节输出量的函数关系,求拉氏反变换,得,3）积分环节,传递函数为：,当输入量为阶跃函数时，则输出量为：,4）微分环节,传
5、递函数为：,5）振荡环节,这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。今以RLC 电路（图6-2）为例加以说明。电路的电压平衡方程式为:,在零初始条件下取拉氏变换得传递函数为：,图6-2 RLC电路,将传递函数转换为：,式中：,当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：,当 时，上式特征方程的根为共轭复数,输出量为：,6）时滞环节,传递函数为：,三、 控制系统的结构图,控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。系统结构图的组成：系统
6、结构图一般有四个基本单元组成（1）信号线；（2）引出点（或测量点）；（3）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；（4）方框（或环节）表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。,1、控制系统的结构图,例6.3 电压测量装置方框结构图被测电压： 指示的测量电压：电压测量误差：,系统组成：比较电路、机械调制器、放大器 两相交流伺服电动机、指针机构,比较电路：,调制器：,放大器：,两相伺服电动机：,绳轮传动机构：,测量电位器：,系统结构图,2、系统传递函数和结构图的变换和简化,任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。,等效变换的原则：变换前后的变量之
7、间关系保持不变一、典型连接的等效传递函数（1）串联等效,（2）并联,（3）反馈,3、系统开环传递函数,开环传递函数：反馈引入点断开时，E(s) 到B(s) 之间所有传递函数的乘积，Gk(s)=G(s)H(s)前向通道传递函数：E(s) 到C(s) 所有传递函数的乘积，记为G(s) 反馈通道传递函数：输出 C(s) 到 反馈信号 B(s) 之间的所有传递函数之乘积，记 为 H(s),4、系统闭环传递函数,在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数。闭环传递函数是分析系统动态性能的主要的数学模型。例: 试简化图示系统结构图，并求系统传递函数,5、系统对给定作用和扰动
8、作用的传递函数,系统有两个输入量给定作用量和扰动作用量，同时作用于系统。对于线性系统来说，可以对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量图,Xr(s)和Xc(s)同时作用于系统,1）只有给定作用时的闭环传递函数 和输出量 为：,(2) 只有扰动作用时的闭环传递函数 和输出量 为,因此当两个输入量同时作用于系统时，则输出量 为：,四、MATLAB中传递函数的表示,1、传递函数模型连续系统的传递函数如下：,线性系统常用的数学模型形式有：传递函数模型、状态方程模型、零极点增益模型和部分分式模型等。,离散系统的传递函数如下：,对线性定常系统，式中s/z的系数均为常数，且a1不等于
9、零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。num=b1,b2,bm,bm+1den=a1,a2,an,an+1注意：它们都是按s/z的降幂进行排列的。,在 MATLAB中，可以用tf来建立传递函数的系统模型，其基本格式为:sys=tf(num, den) %返回连续系统的传递函数模型。sys=tf(num, den, T) %返回离散系统的传递函数模型，其中T为采样周期。,2、零极点增益模型,k为系统增益，zi为零点，pj为极点,连续离散,MATLAB中，用zpk( )命令来建立系统的零极点增益模型，其调用格式为：s
10、ys=zpk(z, p, k) %返回连续系统的零极点增益模型sys=zpk(z, p, k, T) %返回离散系统的零极点增益模型其中，z= z1, z2, , zm，p= p1, p2, , pn，k=k。,3、状态空间模型,连续离散,sys=ss(A, B, C, D) %返回连续系统的状态空间模型sys=ss(A, B, C, D, T) %返回离散系统状态的空间模型,4、数学模型转换函数,数学模型转换,举例：传递函数描述 1） num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;2）num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,co
11、nv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);,z= 0 -6 -5,p= -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000,k= 1,% From tf to zkp：num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50; z,p,k=tf2zp(num,den),模型的连接1)串联：series sys = series(sys1,sys2) sys=sys1*sys2*sysn,2) 并联：parallelsys = parallel (sys1,sys2)sys=sys1+sys2+sysn,3) 反馈 :feedbacksys = feedback(sys1,sys2,sign)其中，sign是指sys2输出到u的连接符号，缺省值为1，即sign = 1。,Also see Control System Demo: ltidemo in Matlab,
