1、第五节 第二章 一 消元法解线性方程组 二 矩阵的初等变换 一 消元法解线性方程组分析 用消元法解下列方程组的过程引例 求解线性方程组 解 用 回代 的方法求出解 于是解得 2 小结 1 上述解方程组的方法称为消元法 3 上述三种运算都是可逆的 由于三种运算 以下我们又叫变换 都是可逆的 所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的 故这三种变换是同解变换 因为在上述变换过程中 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算 未知量并未参与运算 若记 对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B 方程组 1 的增广矩阵 的运算 变换 增广矩阵 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 二 矩阵的初等变换 同理可定义
2、矩阵的初等列变换 所用记号是把 r 换成 c 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同 逆变换 逆变换 逆变换 等价关系的性质 具有上述三条性质的关系称为等价 例如 两个线性方程组同解 就称这两个线性方程组等价 用矩阵的初等行变换解方程组 1 特点 1 可划出一条阶梯线 线的下方全为零 2 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元 即非零行的第一个非零元 矩阵B4 B5称为行阶梯形矩阵 阶梯矩阵B5也称为行最简形矩阵 对任何矩阵A 都可经过有限次的行初等变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 由例知 解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵 且行的最简形矩阵是唯一的 例如 行的最简形矩阵经过初等变换可变成标准型 特点 F的左上角是一个单位矩阵 其余元素全为零 此标准形由m n r三个数唯一确定 其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数 可逆方阵经过有限次初等变换可化为单位阵 1 初等行 列 变换 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同 3 矩阵等价具有的性质 小结
