1、1 实数2 数集.确界原理3 函数概念4 具有某些特性的函数,第一章 实数集与函数,第一章 实数集与函数,2 数集确界原理,2 数集确界原理,一、区间与邻域 二、有界集确界原理,2 数集确界原理,教学内容: 区间与邻域；有界集与确界原理,教学重点: 区间与邻域的概念，确界定义与确界 原理,教学要求: 正确理解数集上、下确界与数集上、 下界的定义,一、区间与邻域,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定：,空集为任
2、何集合的子集.,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,数集x|axb称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)=x|axb.,a, b=x|axb闭区间.,a, b)=x|axb半开区间, (a, b=x|axb半开区间.,有限区间,上述区间都是有限区间, 其中a和b称为区间的端点, b-a 称为区间的长度.,(-, b= x|xb,(-, +)= x| |x|+.,a, +)= x|ax,无限区间,(-, b)=
3、x|xb,(a, +)= x|a0, 则称 U(a, )=(a-, a+)=x| |x-a|为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半径.,去心邻域,邻域：定义为特殊的区间或区间的并.,注： 1、 数学符号 、 、 的意义，切记它们不是数； 2、 有限与无限是数学分析中的第一对矛盾。,二 有界集确界原理,1 有(无)界数集: 定义(上、下有界, 有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界,例1 证明集合,是无界数集.,证明：,由无界集定义，E 为无界集.,证毕,2 确界:,直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集S的上
4、确界，,同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界，,确界的精确定义：,证明：必要性，用反证法.,证毕,，,，,证毕,例3 设数集S有上确界.证明,.,证毕,例4,证明:,故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.,是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界,A中任一数 都是B的下界,是数集A的最小上界, 故有,而此式又表明数 是数集B的一个下界,故由下确界的定义证得,证毕,例5,为非空数集,试证明:,证明：,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,和,证毕,确界不一定属于原集合. 以例1为例做解释.,4.确界与最值的关系
5、: 设 E为数集. E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. 若 存在, 必有 对下确界有类似的结论.,3. 数集与确界的关系:,5 确界原理 定理1 (确界原理). 设 E 为非空数集，若E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则E必有下确界.,证明: 设,A,B不空.首先,A、B不漏性由A、B定义即可看出；,的一个上界.,若b是E的一个上界，则,，由此得,下证: 非空的有下界的集合必有下确界.,定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性. 若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的.定理1刻划了实数集是完备的.,证毕,设A,B为非空有限数集, . 证明:,例6,证明:,故得,所以,综上,即证得,例7 证明实数空间满足阿基米德原理.,证明：,假设结论不成立，即,小结,1 区间和邻域的概念;,2 确界、确界原理.,作 业,第 9 页 A 类：1（1）（2），2，4（2）（3），5； B 类：1（3）（4）,
