1、 7 4静电场的环路定理电势 一 静电场力作功的特点 1 如在一点电荷的电场中 将试验电荷q0从o移到a点电场力的功 2 任意带电系统的电场中 将q0从o移到a电场力的功 静电场中电场强度的环流为零 静电场的环路定理 结论 一定量的电荷在静电场中移动时 电场力所作的功只与电荷的起点和终点的位置有关 而与路径无关 即电场力是保守力 静电场是保守场 3 若q0在电场中沿L运动一周 势能 上式等号左边是功 右边是能量的改变 这种能量只跟位置有关 称为位能 也称势能 为了确定a点的势能Epa 先要确定势能零点Epo A保 0 Epa Epo 二 电势能 W 保守力作功等于势能增量的负值 Wa Wb的量
2、值是相对的量 与零势能的参考点的选取有关 而势能的增量与零势能点选取无关是绝对的量 1 对有限的带电体选则 所以a点的势能 2 对无限带电体令接地点b点的势能为零 Wb 0 a点的势能 结论 试验电荷qo在空间某处的电势能在数值上就等于将qo从该处移至势能的零点时电场力所作的功 如q0在点电荷q的电场中电势能 说明 电势能是属于系统的 为场源电荷与试验电荷所共有 是试验电荷与电场之间的相互作用能 电势能的量值与电势能零点的选择有关 当时 电场力作正功 电势能减少 当时 电场力作负功 电势能增加 三 电势 定义 单位 伏特 V 结论 电场中a点的电势 在数值上等于把单位正电荷从a点移至势能的零点
3、处电场力所作的功或说静电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在该点的电势能 说明 1 电势是标量 有正负大小 2 零电势参考点的选取有任意性 原则与零电势能点的选取相同 四 电势差 电势差 结论 静电场中a b两点的电势差 在数值上等于将单位正电荷从a点移至b点电场力所作的功 五 电势的计算 1 点电荷的电势 选无穷远的地方为零电势 2 点电荷系的电势 电势叠加原理 选无穷远的地方为零电势 例1 均匀带电圆环 带电量为q 半径为a 求轴线上任意一点的P电势 解 P x x a 标量叠加 法二 由高斯定理知 电场分布 R 解 P 1 当r R时 3 电势分布 2 当r R时 r 例2 求一均匀带
4、电球面 q 的电势分布 电势分布曲线 场强分布曲线 E V R r r O O 结论 均匀带电球面 球内的电势等于球表面的电势 球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势 R1 R2 Q q 如图 两球壳分别均匀带上Q q的电荷 半径分别为R1 R2 求电势的分布情况 解 r R1时 R1 r R2时 r R2时 半径为R 带电量为q的均匀带电球体 解 根据高斯定理可得 求 带电球体的电势分布 例3 对球外一点P 对球内一点P1 电势分布曲线 场强分布曲线 E V R r r O O 结论 均匀带电球体 球内外的电势随半径而变 球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势 例4 求无限长
5、均匀带电直线外任一点P的电势 电荷密度 解 先应用电势差和场强的关系式 求出在轴上P点P1和点的电势差 由于ln1 0 所以若选离直线为r1 1m处作为电势零点 则可得P点的电势为 例5 电荷密度分别为 和 的两块无限大均匀带电平行平面 坐标分别为a和 a 设坐标原点o处的电势为零 求电势分布 并画出电势分布曲线 解 a x a xa 例6 如图所示 已知两点电荷电量分别为q1 3 0 10 8Cq2 3 0 10 8C A B C D为电场中四个点 图中a 8 0cm r 6 0cm 1 今将电量为2 0 10 9C的点电荷从无限远处移到A点 电场力作功多少 电势能增加多少 2 将此电荷从A
6、点移到B点 电场力作多少功 电势能增加多少 3 将此点电荷从C点移到D 电场力作多少功 电势能增加多少 1 2 解 2 1 2 3 1 2 例7 两无限大导体板 相距2d 并都接地 在极板之间充满正离子气体 与导体板绝缘 离子浓度为n 每个离子带电量为q 求两极板之间的场强分布和电势分布 解 由高斯定理 E E 2x o 7 5等势面和电势梯度 一 等势面 等势面 静电场中 电势相等的点所组成的曲面 规定 相邻等势面之间的电势差相等 点电荷的等势面 电场线指向电势降低的方向 等势面和电场线密集处场强量值大 稀疏处场强量值小 等势面与电场线处处正交 电偶极子的等势面 电平行板电容器电场的等势面
7、证明 设等势面上P点的电场强度与等势面夹角为 把q0在等势面上移动 电场力作功为 二 电势梯度 c 电势梯度矢量 记为 电势梯度的大小等于电势在该点最大空间变化率 方向沿等势面法向 指向电势增加的方向 三 电势梯度与电场强度的关系 结论 电场中某一点的场强沿任一方向的分量等于这一点的电势沿该方向的方向导数的负值 矢量式 例 求 2 3 0 点的电场强度 已知 例1 均匀带电圆环 带电量为q 半径为a 求轴线上任一点P的场强 解 导体的电结构 7 6静电场中的导体 静电感应 在外电场影响下 导体表面不同部分出现正负电荷的现象 一 导体的静电平衡状态 静电平衡 导体内部和表面没有电荷的宏观定向运动
8、 二 静电平衡时导体中的电场特性 1 导体内部的场强处处为零 导体表面的场强垂直于导体的表面 2 导体内部和导体表面处处电势相等 整个导体是个等势体 三 静电平衡下导体的带电特性 1 在静电平衡下 导体所带的电荷只能分布在导体的表面 导体内部没有净电荷 1 实心导体在静电平衡时的电荷分布 导体内部没有净电荷 电荷只能分布在导体表面 结论 2 处于静电平衡的导体 其表面上各点的电荷密度与表面邻近处场强的大小成正比 dS 高斯定理 3 静电平衡下的孤立导体 其表面处面电荷密度 与该表面曲率有关 曲率 1 R 越大的地方电荷密度也越大 曲率越小的地方电荷密度也小 四 尖端放电 对于有尖端的带电导体
9、尖端处电荷面密度大 则导体表面邻近处场强也特别大 当场强超过空气的击穿场强时 就会产生空气被电离的放电现象 称为尖端放电 空腔导体 空腔内无净电荷分布 1 电荷分布在导体外表面 导体内部和内表面没净电荷 若内表面有电荷 2 导体外的电场由导体外表面的电荷分布以及导体外其它带电体共同决定 空心导体 空腔内有电荷q 1 电荷分布在导体内外两个表面 内表面带电荷 q 2 腔内电场由腔内带电体和腔内表面的电荷共同决定 与导体外其它带电体无关 3 腔外电场由导体外表面上的电荷即腔外其他带电体的电荷分布决定 与腔内情况无关 接地后 导体外表面的电荷为0 外电场消失 导体内的带电体对外界无影响 五 静电屏蔽
10、 1 空腔导体 腔内没有电荷 空腔导体起到屏蔽外电场的作用 接地的空腔导体可以屏蔽内电荷对外电场的影响 2 空腔导体 腔内存在电荷 例1 有一外半径R1 内半径为R2的金属球壳 在球壳中放一半径为R3的金属球 球壳和球均带有电量q的正电荷 问 1 两球电荷分布 2 球心的电势 3 球壳电势 解 r R3 R3 r R2 1 电荷 q分布在内球表面 2 球壳内表面带电 q 3 球壳外表面带电2q R2 r R1 r R1 2 3 例2 两块大导体平板 面积为S 分别带电q1和q2 两极板间距远小于平板的线度 求平板各表面的电荷密度 解 电荷守恒 由静电平衡条件 导体板内E 0 讨论 例 在一个接地的金属球附近有一个电量为q q 0 的点电荷 已知球的半径为R 点电荷与球心距离为d 2R 求金属球面上感应电荷的总电量q 解 点电荷q在球心o处的电势 感应电荷在球心o处的电势
