1、 1 5函数的正交展开和傅里叶级数一 矢量空间与函数空间 一 矢量空间 1 三维矢量 正交单位矢量 2 N维 为n维空间正交的单位矢量 正交坐标系 n维空间n个单位正交构成的正交坐标系 展开系数的求法 两边同乘 即 非单位矢量 二 函数 信号 空间 1 设有无穷个正交函数构成函数空间 正交函数 展开系数的求法 两边同乘积分 若 称正交归一化空间和正交归一化坐标系 2 若正交函数为复函数 正交性 三 常用正交函数坐标系 三角函数空间walsh函数空间sinc函数空间贝赛尔函数空间 二 傅里叶级数 一 周期函数 二 三角级数 1 定义 若 为正弦级数 若 为余弦级数 只有周期函数能用三角级数展开
2、2 性质 1 周期性2T 2 三角函数正交性 三 傅里叶级数 1 f x 是周期为2T的函数 1 的计算 2 系数为各成分占得比重 计算 2 的计算 利用正交函数的性质 四 函数的周期性和奇偶性在定积分中的应用 1 周期函数的积分性质 设周期函数f x 的周期为2T 则在长为2T的任意区间上的定积分都相等 1 图形分析 2 证明 令 令 2 函数的奇偶性 1 奇偶 2 若周期函数为奇函数 其傅氏展开只包含正弦项 若周期函数为偶函数 其傅氏展开只包含余弦项 若非奇非偶 3 奇偶函数的对称积分 积分限相对于原点是对称的 1 奇函数的对称积分为零 a不一定是周期 2 偶函数的对称积分等于正限积分的二
3、倍 3 n个奇函数的代数和仍为奇函数 4 n个偶函数的代数和仍为偶函数 5 1个奇函数与一个偶函数相乘 或相除 结果为奇函数 6 两个奇函数相乘 或相除 结果为偶函数 7 n个偶函数相乘 或相除 结果为偶函数 8 m个奇函数n个偶函数相乘 或相除 结果为取决于m是奇数还是偶数 9 奇函数和偶函数相加 减 结果为非奇非偶 五 傅里叶级数的另一种表示 表示某种振动或某种谐波分量 初位相 振幅 六 傅里叶级数的复数表示 欧拉公式 令 的求法 七 举例 傅氏展开先判断奇偶性 1 周期为2T f x x T x T傅氏级数 奇函数 只用正弦项展开 2 K是常数 周期2T 4 T 2 3 周期为d 偶函数
4、 4 求如图所示一维正弦位相光栅透过率函数的傅里叶级数展开式 n阶第一类贝赛尔函数 n阶第一类贝赛尔函数的积分公式 正弦光栅透过率函数也可表示为 令 0阶第一类贝赛尔函数积分表达式 八 频谱的概念 频率 为谐频 此为空间频谱 x t为时间频率 的曲线叫振幅频谱图 位相频谱图 特点 离散的 具有谐波性 收敛性 振幅频谱 位相频谱 特点 频率范围从出现负频概念 各谐波的分量减小一半 各谐波位相值不变 但正负频的位相方向相反 二者差异只是形式上的 正负频的解释 平面偏振 可分为左右弦振动 圆偏振 左弦为正频 右弦为负频 例 周期矩形脉冲 当n 0时 作图 设 振幅频谱 n 复振幅频谱图 图 出现负频 振幅减小一半 并表示位相
