1、直角坐标平面内点到线的距离在直角坐标平面内，我们都知道点和点之间的距离公式，这为我们的数学计算起到了极其大的帮助。在学习了二次函数之后，发现在计算点到线的距离时，没有公式，不是很方便，所以，现在就要通过计算得出直角坐标平面内点到线的距离公式。已知直线 y=kx+b 及点 A（x，y）如图所示，AD直线 y=kx+b，垂足为 D，求 AD 的长。过点 A 分别作 ABy 轴，ACx 轴，点 B，点 C 均在直线 y=kx+b 上。AB y 轴，AC x 轴B（x， kx+b） ，C （ ，y） 。𝑦𝑏𝑘AB= ，CA= ，CB=|𝑘
2、𝑥+𝑏𝑦| |𝑥𝑦𝑏𝑘| (𝑥𝑦𝑏𝑘)2+(𝑘𝑥+𝑏𝑦)2AD=𝐴𝐵·𝐴𝐶𝐵𝐶=|𝑘𝑥+𝑏𝑦|·|𝑥𝑦𝑏𝑘|(
3、19909;𝑦𝑏𝑘)2+(𝑘𝑥+𝑏𝑦)2=(𝑘𝑥+𝑏𝑦)2·(𝑥𝑦𝑏𝑘)2(𝑥𝑦𝑏𝑘)2+(𝑘𝑥+𝑏𝑦)2=(𝑘𝑥+𝑏𝑦)2·(𝑘&
4、#119909;+𝑏𝑦𝑘 )2(𝑘𝑥+𝑏𝑦𝑘 )2+(𝑘𝑥+𝑏𝑦)2=(𝑘𝑥+𝑏𝑦)2𝑘|𝑘𝑥+𝑏𝑦|· 1+𝑘2𝑘=|𝑘𝑥+𝑏𝑦|𝑘2+1点
5、 A（x，y）到直线 y=kx+b 的距离公式为|𝑘𝑥+𝑏𝑦|𝑘2+1这个公式的得出可以让我们在解一些直角坐标系内的题目时可以更加方便，以下就是几个运用到直角坐标平面内点到线的距离公式的例题。例题 1；已知 A（-2，-3） ，B（2，-1） ，C（0,2） ，求ABC 的面积分析：如果没有直角坐标平面内点到线的距离公式，那么解这一道题需要用一个梯形的面积减去两个小三角形的面积，列式计算较为繁琐。但是如果用上这个距离公式，可以简化解题的过程，同时也可以提高准确率。解：由 A,B 两点坐标可得直线 AB 的解析式为
6、y= x-2，同时可以求出 AB 的长度为122 。又已知 C 的坐标（0,2） ，则可以算出 C 点与直线 AB 的距离 h（即ABC AB 边上的高）5为|12×022|14+1= 。可得 SABC = ×2 =8855 12×855 5例题 2：如图，在直线 上求两点 B，C，使它与点 A（2，-2）构成等边三角形𝑦=13𝑥23的三个顶点。分析：本题需要用直角坐标平面内点到线的距离公式求这个等边三角形的高，然后利用等边三角形边长与高的比例关系求出边长，进而确定两点的位置。解：点 A（-2，2）到直线 上的距离（即等边三角形的一
7、条高） h= =𝑦=13𝑥23 |262|10。由此可得等边三角形的边长为102303设此三角形在直线 上的一个顶点的坐标为（ x， ） 。于是有(x+2)𝑦=13𝑥23 13𝑥232+( -2)2= 。整理解得 x1=-1+ ,x2=-1-13𝑥23 403 3 3故所求两点 B（-1+ ，-1+ ） ，C（-1- ，-1- ）333 3 33由此可以看出，直角坐标平面内点到线的距离公式的作用是非常大的，以上列举的都是一些基础题，在解一些综合题的时候，同样可以使用这个公式，可以大大提高做题的速度以及准确度。陈宇轩
